[論文レビュー] Post-critically finite self-similar groups

Ievgen Bondarenko, Volodymyr Nekrashevych|ArXiv.org|Jan 28, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、有界自己原子によって生成される自己相似群と、後期的臨界的有限（p.c.f.）自己相似極限空間との間の明確な対応関係を確立する。自己相似群が収縮的であり、その極限空間がp.c.f.であるための必要十分条件として、それが有界自己原子の群の部分群であることであることを示し、状態サイクルと活性成長の自動機的解析を用いて、これらの群およびその核を特徴づける。

ABSTRACT

We describe in terms of automata theory the automatic actions with post-critically finite limit space. We prove that these actions are precisely the actions by bounded automata and that any self-similar action by bounded automata is contracting.

研究の動機と目的

• フラクタル上の調和解析に用いられる後期的臨界的有限（p.c.f.）自己相似フラクタルと、根付き木上の作用をもつ自己相似群との間の関係を明確化すること。
• 自動機的道具を用いて、極限空間がp.c.f.である自己相似群を特徴づけること。
• このような群がちょうど有界自己原子によって生成される群であり、かつ収縮的であることを証明すること。
• 有界自己原子の有限生成部分群における語問題が多項式時間で解けることを確立すること。

提案手法

• 自己相似群の作用をモア図と遷移／出力関数を用いて自動機理論でモデル化する。
• 状態遷移グラフに有限で互いに素な非自明なサイクルをもつ自動機を有界自己原子と定義する。
• 記号 $ g|_v $ と $ g(v) $ を用いて、群の要素の活性成長と制限構造を分析する。ここで $ g|_v $ は、語 $ v $ を読み込んだ後に到達する状態を表す。
• 語の分解における非有限状態の数（$ l_1(g) $-ノルム）に関する帰納法を用い、すべての高レベルの制限 $ g|_v $ が有限核に到達することを示す。
• このような群の核が有限であり、かつ有界な制限の集合に含まれることを証明し、収縮的性質を示す。
• 周期的構造（周期 $ n_1 $）を用いて、核における無限の左無限パスが最終的に周期的であることを示し、有限個であることを証明する。これにより極限空間がp.c.f.であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己相似群作用の極限空間が後期的臨界的有限（p.c.f.）であるのはいつか？
• RQ2 p.c.f.極限空間をもつ群の明確な自動機的特徴づけは何か？
• RQ3 有界自己原子は収縮的群およびその核とどのように関係するか？
• RQ4 有界自己原子の部分群における語問題は、効率的に解けるか？
• RQ5 状態遷移グラフの構造的性質（例：サイクル構造）のうち、極限空間のp.c.f.性質を保証するのは何か？

主な発見

• 自己相似群が収縮的であることは、それが有界なサイクル構造をもつ有限自動機によって生成されることと同値である。
• 自己相似群の極限空間が後期的臨界的有限（p.c.f.）であることは、その群が有界自己原子の群 $ \beta $ の部分群であることと同値である。
• すべての自己相似群 $ \beta $ の部分群は収縮的であり、その核は有限であり、かつ有界な制限の集合に含まれる。
• このような群の極限空間は、核におけるすべての無限の左無限パスが最終的に周期的であり、かつ有限個であることから、p.c.f.である。
• 任意の $ \beta $ の有限生成部分群における語問題は、多項式時間で解ける。
• 有界自己原子から導かれる収縮的群の核は、集合 $ \{ g|_v : g \in \mathcal{N}_1, |v| < n_1 \} $ に含まれる。ここで $ \mathcal{N}_1 $ は自己参照的制限をもつ有限状態の集合である。