[論文レビュー] Post-Newtonian methods: Analytic results on the binary problem

Gerhard Schaefer|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2009

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論における後ニュートン近似（PN）近似の包括的な解析的枠組みを提示する。調和座標およびADM一般化等方座標を用いて、二重系の保存的力学を導出する。スピンを有する二重系の高次ハイミルトニアンを達成し、遠方領域における重力波形を1.5 PN次数まで含む。また、次元正則化を用いたディラックのデルタ関数によるブラックホールのモデル化により、弱場近似における強場違反にもかかわらず一貫性のあるPN展開を可能にする技術的課題を解決する。

ABSTRACT

A detailed account is given on approximation schemes to the Einstein theory of general relativity where the iteration starts from the Newton theory of gravity. Two different coordinate conditions are used to represent the Einstein field equations, the generalized isotropic ones of the canonical formalism of Arnowitt, Deser, and Misner and the harmonic ones of the Lorentz-covariant Fock-de Donder approach. Conserved quantities of isolated systems are identified and the Poincaré algebra is introduced. Post-Newtonian expansions are performed in the near and far (radiation) zones. The natural fitting of multipole expansions to post-Newtonian schemes is emphasized. The treated matter models are ideal fluids, pure point masses, and point masses with spin and mass-quadrupole moments modelling rotating black holes. Various Hamiltonians of spinning binaries are presented in explicit forms to higher post-Newtonian orders. The delicate use of black holes in post-Newtonian expansion calculations and of the Dirac delta function in general relativity find discussions.

研究の動機と目的

• ニュートン力学から出発して、一般相対性理論における体系的な後ニュートン近似スキームを構築すること。
• 調和（フォック＝デドンデル）座標とADM一般化等方座標という2つの主要な座標枠組みを比較・統合すること。
• PN理論における孤立系の保存量およびポincare代数を導出すること。
• PN展開内でのディラックのデルタ関数を用いて、スピンおよび質量四極モーメントを有する点質量のブラックホールをモデル化すること。
• 遠方領域における重力波形を1.5 PN次数まで計算すること。スピンおよびテイル効果を含む。

提案手法

• 調和座標およびADM一般化等方座標におけるアインシュタイン場方程式を用いてPN展開を導出する。
• PNスキームに自然に適合する多重極展開を用いて、重力放射および近接領域の力学をモデル化する。
• 強場領域におけるディラックのデルタ関数を処理するための次元正則化を適用し、高次PN計算における一貫性を保証する。
• スピン-軌道およびスピン-スピン結合項を含む、高次PN次数におけるスピンを有する二重系の明示的ハイミルトニアンを導出する。
• 横方向トレースレスゲージを用いて、軌道位相変調およびテイル効果による対数補正を用いて重力波形を計算する。
• ビリアル定理を用いて $ v^2/c^2 $ を $ GM/c^2 r $ に関連づけ、束縛系における一貫性のあるPN順序付けを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 調和座標およびADM座標系の両方において、後ニュートン展開を一貫して導出できるか。また、それらは同等の結果をもたらすか。
• RQ2 多重極展開は、PN理論における近接領域と遠方領域の力学を橋渡しするために果たす役割は何か。
• RQ3 ディラックのデルタ関数を用いたPNスキーム内で、スピンおよび質量四極モーメントを有するブラックホールをどのようにモデル化できるか。
• RQ4 テイル補正は重力波形にどのような影響を及ぼし、位相進化にどのように符号化されるか。
• RQ5 スピン-軌道およびスピン-スピン相互作用は、高次PN次数におけるハイミルトニアンおよび波形にどのように寄与するか。

主な発見

• 本稿では、スピン-軌道およびスピン-スピン結合項を含む、高次PN次数におけるスピンを有する二重系の明示的ハイミルトニアンを導出した。
• 遠方領域における重力放射の波形は1.5 PN次数まで計算され、スピンおよびテイル効果の寄与を含む。$ h_+ $ および $ h_\times $ の明示的表現が、軌道位相および軌道傾きに依存する形で得られた。
• テイル効果に起因する対数位相補正が、軌道位相 $ \psi $ の $ x^{3/2} \ln(x/x_0) $ 項から生じることを示した。ここで $ x = (GM\omega/c^3)^{1/3} $ である。
• ブラックホールのモデル化におけるディラックのデルタ関数の取り扱いに次元正則化が不可欠であることが確認され、非線形的特異性を解消した。
• 調和座標とADM座標の両アプローチの間で高次で一致が確認され、異なる形式間でのPN手法の一貫性が裏付けられた。
• 1.5 PN遠方波形には、スピンによる変調、質量非対称性 $ \delta m/m $、および傾斜角依存の偏光関数 $ F_+ $、$ F_\times $ が含まれており、$ \cos i $、$ \sin i $、および $ \psi $ に明示的な依存性を示した。