[論文レビュー] Posterior consistency for $n$ in the binomial $(n,p)$ problem with both parameters unknown - with applications to quantitative nanoscopy

Laura Fee Schneider, Johannes Schmidt-Hieber+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2018

Statistical Methods and Inference参考文献 50被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$k \to \infty$ の際に $p \to 0$ かつ $n \to \infty$ となる設定下で、$n$ と $p$ がともに未知である場合の二項母集団サイズ $n$ の推定に対して、事後一致性および Bernstein-von Mises 定理を確立する。$n$ のための新しいベイズ推定量のクラスを導入し、シミュレーションおよびスーパーレゾリューション・ナノスコピーモデルへの実応用において優れた性能を示している。

ABSTRACT

Estimation of the population size $n$ from $k$ i.i.d. binomial observations with unknown success probability $p$ is relevant to a multitude of applications and has a long history. Without additional prior information this is a notoriously difficult task when $p$ becomes small, and the Bayesian approach becomes particularly useful. For a large class of priors, we establish posterior contraction and a Bernstein-von Mises type theorem in a setting where $p ightarrow0$ and $n ightarrow\infty$ as $k o\infty$. Furthermore, we suggest a new class of Bayesian estimators for $n$ and provide a comprehensive simulation study in which we investigate their performance. To showcase the advantages of a Bayesian approach on real data, we also benchmark our estimators in a novel application from super-resolution microscopy.

研究の動機と目的

• 二項分布$(n,p)$における母集団サイズ$n$を推定するという、$p$が小さい場合に困難な問題に取り組む。
• サンプルサイズ$k \to \infty$ の際に$p \to 0$ かつ $n \to \infty$ となる漸近的設定下で、事後収縮および Bernstein-von Mises 型の理論的保証を確立する。
• $p$が小さい状況に適応する、低スパarsity状態においても頑健な推定量のクラスを構築する。
• バイアス、分散、平均二乗誤差の観点から、既存手法と比較した包括的なシミュレーションと、スーパーレゾリューション顕微鏡への実データ応用を通じて、これらの推定量の性能を評価する。

提案手法

• 著者らは$n$と$p$に対する広範な事前分布のクラスを検討し、$p \to 0$、$n \to \infty$、$k \to \infty$ という連合漸近的設定下での事後収縮率を導出する。
• 正則性条件の下で、$n$の事後分布が真の値のまわりにパラメトリックレートで集中することを示す Bernstein-von Mises 型定理を確立する。
• 観察がスパースな状況において$p$が小さいときの推定に適応する、画期的な目的的ベイズ推定量のクラスを提案する。
• 高次元かつスパースな状況での$n$の推定を正則化する階層的事前分布を用いて推定量を構築する。
• 理論的結果は、バイアス、分散、平均二乗誤差の観点から、新規推定量と既存手法の比較を含むシミュレーションスタディによって裏付けられる。
• 本手法は、検出可能な分子数（$n$）が疎でノイズの多い画像データから推定されなければならない定量的ナノスコピーデータに実用応用されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k \to \infty$ の際に$p \to 0$ であり、$n$ と $p$ がともに未知である状況下で、$n$ の事後分布が真の値に収束する条件は何か？
• RQ2 $p \to 0$ かつ $n \to \infty$ となるスパースな設定下で、二項分布$(n,p)$モデルに対して Bernstein-von Mises 定理を確立できるか？
• RQ3 低$p$条件の下で、頻度的性能の観点から、提案された$n$のベイズ推定量は既存手法と比べてどのように異なるか？
• RQ4 実世界のスーパーレゾリューション顕微鏡データにおいて、新しい推定量の経験的性能はいかがなものか？

主な発見

• $k \to \infty$ の際に$p \to 0$ かつ $n \to \infty$ となる設定下で、広範な事前分布のクラスに対して$n$の事後収縮が確立され、真の$n$の周囲に事後分布が信頼性を持って集中することが示された。
• スパースな設定下でも Bernstein-von Mises 型定理が成立し、$n$の事後分布が漸近的に正規分布に従い、分散がフィッシャー情報量の逆数と一致することが示された。
• シミュレーションにおいて、提案されたベイズ推定量は特に$p$が小さい状況で優れた性能を示し、頻度的推定量がしばしば失敗する状況でも優位であった。
• スーパーレゾリューション顕微鏡への実応用において、新しい推定量は頑健性と正確性を示し、疎な画像データから蛍光分子数を的確に回復できた。
• シミュレーション結果は、$p$が非常に小さく、$n$が大きい状況下でも、バイアスと平均二乗誤差が低い水準を達成していることを確認した。
• ナノスコピーモデルへの応用は、定量的生物学的画像解析におけるベイズ枠組みの実用的有用性を示している。