[論文レビュー] Posterior propriety in Bayesian extreme value analyses using reference priors

Paul J. Northrop, Nicolas Attalides|UCL Discovery (University College London)|May 19, 2015

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 37被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、一般化パレート（GP）分布および一般化極値（GEV）分布に対する参考事前分布を用いたベイズ的極値分析における事後分布の妥当性を調査する。MDI事前分布は、GPまたはGEVの両方において、いかなる標本サイズに対しても妥当な事後分布を生じないことが示され、ジェフリーズ事前分布はGEVでは失敗するが、独立した一様事前分布は、GPでは3例、GEVでは4例の最小標本数で妥当な事後分布をもたらす。

ABSTRACT

The Generalized Pareto (GP) and Generalized extreme value (GEV) distributions play an important role in extreme value analyses, as models for threshold excesses and block maxima respectively. For each of these distributions we consider Bayesian inference using "reference" prior distributions (in the general sense of priors constructed using formal rules) for the model parameters, specifically a Jeffreys prior, the maximal data information (MDI) prior and independent uniform priors on separate model parameters. We investigate the important issue of whether these improper priors lead to proper posterior distributions. We show that, in the GP and GEV cases, the MDI prior, unless modified, never yields a proper posterior and that in the GEV case this also applies to the Jeffreys prior. We also show that a sample size of three (four) is sufficient for independent uniform priors to yield a proper posterior distribution in the GP (GEV) case.

研究の動機と目的

• 非情報的事前分布（ジェフリーズ、MDI、および独立した一様事前分布）が、極値モデルのベイズ推論において妥当な事後分布を生じるかどうかを評価すること。
• GPおよびGEV分布において非情報的事前分布を用いる際の事後分布の妥当性に関する不確実性を解消し、有効なベイズ推論に不可欠である。
• 一様事前分布の下で妥当な事後分布をもたらすために必要な最小標本サイズを確立し、計算的および理論的妥当性を保証すること。
• 不適切な事前分布が不適切な事後分布を生じる条件を明確にし、極値分析における誤ったMCMC出力を回避すること。

提案手法

• モデルのパラメータに関する3つの参考事前分布（ジェフリーズ、MDI、および独立した一様事前分布）を用いて、GPおよびGEVモデルの同時事後密度を導出する。
• 数学的解析を用いて、事後密度の可積分性を評価し、不適切な事前分布とその事後分布の妥当性への影響を焦点とする。
• 変数変換および積分の上限（例：ガンマ関数の恒等式を用いて）を用いて、パrameter空間における事後密度の積分の収束を評価する。
• 証明において、$ u = (y_1 - \theta)^{-1} $ や $ x = -1/\theta $ などの置換を用いて、複雑な積分を変換・上限評価する。
• 既知の積分恒等式（例：グラドシュタインとリジクのもの）を用いて、事後密度の正規化定数を評価または上限評価する。
• パrameterの異なる領域（例：$ \theta < -1 $、$ -1 \leq \theta \leq 0 $、$ \theta > 0 $）における事後密度の振る舞いを分析し、可積分性を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MDI事前分布は、一般化パレート（GP）分布に対して妥当な事後分布を生じるか？
• RQ2 ジェフリーズ事前分布は、一般化極値（GEV）分布に対して妥当な事後分布を生じるか？
• RQ3 独立した一様事前分布を用いた場合、GPおよびGEVモデルで妥当な事後分布を得るために必要な最小標本サイズは何か？
• RQ4 極値モデルにおいて、不適切な参考事前分布が不適切な事後分布を生じる条件は何か？

主な発見

• MDI事前分布は、標本サイズにかかわらず、GPまたはGEVの両方において、常に妥当でない事後分布を生じる。
• ジェフリーズ事前分布も、GEV分布においては、大きな標本でも妥当でない事後分布を生じる。
• GP分布では、独立した一様事前分布は、最小3例の観察で妥当な事後分布を生じる。
• GEV分布では、独立した一様事前分布は、最小4例の観察で妥当な事後分布を生じる。
• GEVモデルで $ n=4 $ の場合の正規化定数 $ K_4 $ は有限であり、$ n \geq 4 $ に対して事後分布の妥当性が確認される。
• 事後分布の妥当性を評価するために用いられる積分（例：$ J_1, J_2, J_3 $）は、指定されたパrameter範囲において有界かつ有限であり、可積分性が確認される。