[論文レビュー] Potential automorphy over CM fields

Patrick B. Allen, Frank Calegari+8 more|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2018

Advanced Algebra and Geometry被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、自己双対性条件を課さずに、CM体上の正則なn次元ガロア表現に対して、導来Ihara回避技法と局所的・大域的整合性結果を用いて、非条件的なモジュラー性上昇定理を確立する。すべてのCM体上の楕円曲線が潜在的にモジュラーであり、Sato–Tate予想を満たすことを証明し、CM体上のGL2の重さ0の正則的代数的カスプ形式的自動形式表現に対してRamanujan予想を確認する。

ABSTRACT

Let $F$ be a CM number field. We prove modularity lifting theorems for regular $n$-dimensional Galois representations over $F$ without any self-duality condition. We deduce that all elliptic curves $E$ over $F$ are potentially modular, and furthermore satisfy the Sato--Tate conjecture. As an application of a different sort, we also prove the Ramanujan Conjecture for weight zero cuspidal automorphic representations for $\mathrm{GL}_2(\mathbf{A}_F)$.

研究の動機と目的

• 自己双対性を要件としない、CM体上の正則的n次元ガロア表現に対するモジュラー性上昇定理の確立。
• すべてのCM体上の楕円曲線が潜在的にモジュラーであり、Sato–Tate予想を満たすことを証明すること。
• 重さ0の正則的代数的カスプ形式的自動形式表現πに対して、GL2(AF)のRamanujan予想を確立すること。
• mod-pコホモロジーの算術群に対する消滅予想の必要性を回避するため、Ihara回避の導来版を考案・適用すること。
• CM体上でのFontaine–Laffailleおよび通常型の場合に、ガロア表現における局所的・大域的整合性を証明すること。

提案手法

• Caraiani–Scholzeの仕事に裏付けられた、算術的局所対称空間および非コンパクトなシュミラ多様体のコホモロジーの利用。
• l ≠ pの場合には[Sch15]のオリジナルの構成を用いて局所的・大域的整合性を確立し、l = pの場合には境界コホモロジーにおける次数シフトの議論を用いる。
• Hida理論と放物誘導の通常部分を用いて、l = pの場合の通常型の状況を扱う。
• Tay08とKT17を同時に一般化する導来Ihara回避のバージョンを導入し、mod-pコホモロジーの消滅予想を仮定せずに自動形式性上昇定理を可能にする。
• 超パッチング技術を用いてガロア表現を構成し、Fontaine–Laffailleおよび通常型の場合の自動形式性上昇定理を証明する。
• 主定理を対称べき表現に適用し、Rankin–Selbergの境界を用いて、正規性とRamanujan予想を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己双対性条件を課さずに、CM体上のn次元正則的ガロア表現に対してモジュラー性上昇定理を確立できるか？
• RQ2 CM体上でのFontaine–Laffailleおよび通常型の状況において、l = pにおけるガロア表現の局所的・大域的整合性はどの程度まで証明可能か？
• RQ3 Deligneの純粋性定理に依存せずに、CM体上のGL2(AF)の重さ0のカスプ形式的自動形式表現に対してRamanujan予想を確立できるか？
• RQ4 算術群のmod-pコホモロジーの消滅予想を自動形式性上昇定理から回避できるか？
• RQ5 すべてのCM体上の楕円曲線は潜在的にモジュラーであり、Sato–Tate予想を満たすか？

主な発見

• すべてのCM数体上の楕円曲線は潜在的にモジュラーであり、その対称べきもまた潜在的にモジュラーである。
• Sato–Tate予想は、潜在的モジュラー性のおかげで、CM体上のすべての楕円曲線に対して成り立つ。
• 重さ0の正則的代数的カスプ形式的自動形式表現πに対して、GL2(AF)のRamanujan予想が証明され、すべての非分岐素点vでπvが正規的であることが示された。
• 自己双対性条件を課さずに、CM体上のn次元正則的ガロア表現に対する、初めての非条件的なモジュラー性上昇定理が確立された。
• mod-pコホモロジーの消滅予想を仮定せずに自動形式性上昇定理を可能にする導来Ihara回避技法が考案・適用された。
• Fontaine–Laffailleおよび通常型の場合にl = pにおける局所的・大域的整合性が確立され、従来の結果が一般のCM体および高次元表現にまで拡張された。