[論文レビュー] Potential maps and Hardy spaces on special Lipschitz domains

Martin Costabel, Alan McIntosh+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2010

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 13被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、R^nにおける特別なリプシッツ領域上で、補間写像として作用する畳み込み作用素Tを構成する。この作用素Tは、領域内に台を持つ完全形式に対してdT = idを満たす。Tは台を保存し、ポテンシャルの最適な正則性を保証し、n < p ≤ n+1における完全形式のハーディー空間Hpのアトミック特徴付けを可能にする。

ABSTRACT

Suppose that is the open region in R n above a Lipschitz graph and let d denote the exterior derivative on R n . We construct a convolution operator T which preserves support in , is smoothing of order 1 on the homogeneous function spaces, and is a potential map in the sense that dT is the identity on spaces of exact forms with support in . Thus if f is exact and supported in , then there is a potential u , given by u = Tf , of optimal regularity and supported in , such that du = f . This has implications for the regularity in homogeneous function spaces of the de Rham complex on with or without boundary conditions. The operator T is used to obtain an atomic characterisation of Hardy spaces H p of exact forms with support in whenever n=(n + 1) < p � 1 .

研究の動機と目的

• 特別なリプシッツ領域上で、補間写像として作用する畳み込み作用素Tを構築すること。
• Tが領域内での台を保存し、完全形式に対して最適な正則性を持つ解を提供することを保証すること。
• 領域内に台を持つ完全形式のハーディー空間Hpのアトミック特徴付けを確立すること。
• 構築された作用素を用いて、そのような領域におけるde Rham複体の正則性を分析すること。
• 補間写像を用いて、非滑らかな領域上でのハーディー空間理論を完全形式へと拡張すること。

提案手法

• 同次関数空間上で1階の滑らか化作用素として作用する畳み込みとして作用素Tを定義する。
• 完全形式のコンパクトな台を持つ空間上でdT = idとなるようにTを構築する。
• リプシッツグラフの構造を活用して、Tが領域内での台を保存することを保証する。
• de Rham複体の枠組みを用いて、完全形式とそれらのポテンシャルをTを介して関連付ける。
• Tを用いて、完全形式のハーディー空間Hpのアトミック分解を導出する。
• 作用素を用いて、特別なリプシッツ領域上での同次関数空間における正則性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特別なリプシッツ領域上で、台を保存し、最適な正則性を保証する補間写像をどのように構築できるか。
• RQ2 畳み込み作用素Tは、完全形式のハーディー空間を特徴付ける上で果たす役割は何か。
• RQ3 作用素Tは、非滑らかな領域上でのde Rham複体の解の正則性にどのように影響するか。
• RQ4 Tは、n < p ≤ n+1におけるHp空間の完全形式に対して、どのようにアトミック分解を可能にするか。
• RQ5 この構成は、リプシッツ境界を持つ領域上でのハーディー空間理論にどのような意味を持つのか。

主な発見

• 作用素Tは、領域内に台を持つ完全形式に対してdTが恒等写像となるように構築されており、Tが外微分の右逆写像として機能することを保証する。
• Tは領域内での台を保存し、同次関数空間上で1階の滑らか化作用素としての性質を持つため、u = Tfのポテンシャルの最適な正則性が保証される。
• 作用素Tにより、n < p ≤ n+1における完全形式のハーディー空間Hpのアトミック特徴付けが可能になる。
• この構成により、fが完全形式かつコンパクトに台を持つとき、方程式du = fに対する最適な正則性を持つ解作用素が得られる。
• 本研究の結果は、特にn < p ≤ n+1の範囲において、特別なリプシッツ領域上での完全形式に対するハーディー空間理論を拡張する。
• 本手法により、リプシッツ境界を持つ領域上でのde Rham複体の正則性に関する新たな結果が得られる。