[論文レビュー] Potential Maximal Cliques Parameterized by Edge Clique Cover.

Tuukka Korhonen|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2019

Bayesian Modeling and Causal Inference被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、木幅、最小フィルイン、フィードバック頂点集合といった基本的なグラフ問題に対して、最小エッジクリーク被覆のサイズ（cc）をパラメータとするパrameterizedアルゴリズムを提示する。潜在的最大クリークの数が $3^{cc}$ で抑えられることを示し、$O^*(3^{cc})$ 時間のアルゴリズムを実現する。また、エッジクリーク被覆のサイズ $cc'$ が与えられた場合には $O^*(2^{cc'})$ に改善され、完全系統発生樹の問題に対して $O^*(2^n)$ のアルゴリズムが得られる。

ABSTRACT

Many graph problems can be formulated as a task of finding an optimal triangulation of a given graph with respect to some notion of optimality. In this paper we give algorithms to such problems parameterized by the size of a minimum edge clique cover ($cc$) of the graph. The parameter $cc$ is both natural and well-motivated in many problems on this setting. For example, in the perfect phylogeny problem $cc$ is at most the number of taxa, in fractional hypertreewidth $cc$ is at most the number of hyperedges, and in treewidth of Bayesian networks $cc$ is at most the number of non-root nodes of the Bayesian network. Our results are based on the framework of potential maximal cliques. We show that the number of minimal separators of graphs is at most $2^{cc}$ and the number of potential maximal cliques is at most $3^{cc}$. Furthermore, these objects can be listed in times $O^*(2^{cc})$ and $O^*(3^{cc})$, respectively, even when no edge clique cover is given as input; the $O^*(\cdot)$ notation omits factors polynomial in the input size. Using these enumeration algorithms we obtain $O^*(3^{cc})$ time algorithms for problems in the potential maximal clique framework, including for example treewidth, minimum fill-in, and feedback vertex set. We also obtain an $O^*(3^m)$ time algorithm for fractional hypertreewidth, where $m$ is the number of hyperedges. In the case when an edge clique cover of size $cc'$ is given as an input we further improve the time complexity to $O^*(2^{cc'})$ for treewidth, minimum fill-in, and chordal sandwich. This implies an $O^*(2^n)$ time algorithm for perfect phylogeny, where $n$ is the number of taxa. We also give polynomial space algorithms with time complexities $O^*(9^{cc'})$ and $O^*(9.001^{cc})$ for problems in this framework.

研究の動機と目的

• 最小エッジクリーク被覆（cc）のサイズをパラメータとして用いることで、木幅や最小フィルインといったグラフ問題の計算複雑性を扱う。
• エッジクリーク被覆が小さいグラフの構造的性質を活用して、潜在的最大クリークフレームワークにおける問題の時間計算量を低減する。
• cc パラメータ下での最小分離集合および潜在的最大クリークの効率的列挙とアルゴリズム技法の開発。
• 完全系統発生樹や分数ハイパートリーワイドスパンなど、具体的な応用に対して、より良い時間計算量を保証するアルゴリズムの開発。
• 時間計算量を改善しつつ多項式空間解法を達成する。代表的な問題に対しては $O^*(9^{cc'})$ および $O^*(9.001^{cc})$ の時間計算量を達成。

提案手法

• 潜在的最大クリークの枠組みを活用し、グラフ問題をこれらの構造上の最適化問題に再定式化する。
• エッジクリーク被覆サイズに基づき、グラフ内の最小分離集合の数が最大 $2^{cc}$、潜在的最大クリークの数が最大 $3^{cc}$ であることを証明する。
• エッジクリーク被覆を入力としない状態でも、$O^*(3^{cc})$ 時間ですべての潜在的最大クリークを列挙するアルゴリズムを開発する。
• エッジクリーク被覆のサイズ $cc'$ が与えられた場合、より効率的な列挙戦略を用いることで、時間計算量を $O^*(2^{cc'})$ に改善する。
• 列挙結果を応用し、木幅、最小フィルイン、弦的サンドイッチ問題を $O^*(2^{cc'})$ 時間で解く。
• 時間と空間のバランスを取るため、多項式空間アルゴリズムを設計し、同様の問題に対して時間計算量 $O^*(9^{cc'})$ および $O^*(9.001^{cc})$ を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小エッジクリーク被覆のサイズをパラメータとするとき、グラフ内の最小分離集合および潜在的最大クリークの最大数は何か？
• RQ2 エッジクリーク被覆を入力としない状態でも、潜在的最大クリークの列挙を $O^*(3^{cc})$ 時間で効率的に行えるか？
• RQ3 エッジクリーク被覆のサイズ $cc'$ が与えられた場合、木幅や関連するグラフパラメータの計算時間計算量にどのような影響を与えるか？
• RQ4 潜在的最大クリークフレームワークにおける問題に対して、時間計算量を改善しつつ多項式空間のアルゴリズムを設計できるか？
• RQ5 cc パラメータは、完全系統発生樹や分数ハイパートリーワイドスパンといった具体的な応用にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 任意のグラフにおける最小分離集合の数は、最小エッジクリーク被覆のサイズ $cc$ を用いて最大 $2^{cc}$ で抑えられる。
• 潜在的最大クリークの数は最大 $3^{cc}$ であり、エッジクリーク被覆を入力としなくても $O^*(3^{cc})$ 時間で列挙可能である。
• エッジクリーク被覆のサイズ $cc'$ が与えられた場合、木幅、最小フィルイン、弦的サンドイッチ問題の時間計算量は $O^*(2^{cc'})$ に低下する。
• 完全系統発生樹問題に対しては $O^*(2^n)$ 時間のアルゴリズムが得られ、ここで $n$ は分類群の数であり、この文脈では $cc o n$ となる。
• 多項式空間アルゴリズムを設計し、時間計算量 $O^*(9^{cc'})$ および $O^*(9.001^{cc})$ を達成し、空間と時間のトレードオフを実現した。
• フレームワークにより、$m$（ハイパーエッジ数）をエッジクリーク被覆サイズに関連づけることで、分数ハイパートリーワイドスパンに対して $O^*(3^m)$ 時間のアルゴリズムが得られる。