[論文レビュー] Potential quantum advantage for simulation of fluid dynamics

Xiangyu Li, Xiaolong Yin+5 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2023

Lattice Boltzmann Simulation Studies被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、Navier–Stokesの格子ボルツ曼形式をCarleman線形化することにより、量子アルゴリズムが指数的なスピードアップを潜在的に達成し得ることを示し、低次数の線形化が正確であるという証拠と、コストが系のサイズと対数的にスケールすることを示している。

ABSTRACT

Numerical simulation of turbulent fluid dynamics needs to either parameterize turbulence-which introduces large uncertainties-or explicitly resolve the smallest scales-which is prohibitively expensive. Here we provide evidence through analytic bounds and numerical studies that a potential quantum exponential speedup can be achieved to simulate the Navier-Stokes equations governing turbulence using quantum computing. Specifically, we provide a formulation of the lattice Boltzmann equation for which we give evidence that low-order Carleman linearization is much more accurate than previously believed for these systems and that for computationally interesting examples. This is achieved via a combination of reformulating the nonlinearity and accurately linearizing the dynamical equations, effectively trading nonlinearity for additional degrees of freedom that add negligible expense in the quantum solver. Based on this we apply a quantum algorithm for simulating the Carleman-linearized lattice Boltzmann equation and provide evidence that its cost scales logarithmically with system size, compared to polynomial scaling in the best known classical algorithms. This work suggests that an exponential quantum advantage may exist for simulating fluid dynamics, paving the way for simulating nonlinear multiscale transport phenomena in a wide range of disciplines using quantum computing.

研究の動機と目的

• 古典的乱流モデリングと直接NSEシミュレーションを超える乱流流体動力学のシミュレーションの必要性を動機づける。
• 非線形性を低減させ、量子優位性を実現するためのボルツマン方程式の再定式化を提案する。
• 非線形LBEを線形系に変換するためのCarleman線形化を導入する。
• 現れる量子アルゴリズムが、実用的条件下で系サイズの対数スケーリングを達成できることを示す。

提案手法

• 流体力学の中間的定式化として格子ボルツ曼方程式（LBE）を用いる。
• 1/ρを展開しfmをfmの多項式として表すことで非線形項を処理する。
• Carleman線形化を適用して、非線形LBEをf, f[2], ..., f[k]を介して無限の線形系に写し、次数kで打ち切る。
• x方向で対角性を持つn点Carleman線形化LBEを構築し、量子処理の効率を高める。
• 線形化された系を、量子線形システムアルゴリズムに適したブロック符号化行列で表現する。
• 打ち切り誤差とスケーラビリティを分析し、モーメントからρ, ρuといった巨視的量を回復する方法を論じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱圧縮性流れ（Ma ≪ 1）に対して、低次数のCarleman線形化はρ, ρuというマクロ量を正確に提供できるか？
• RQ2 Carleman線形化LBEは、系サイズNに対してコストが対数的にスケールする量子アルゴリズムを許容するか？
• RQ3 Carleman次数kの打ち切りが精度と推定された宏観量に与える影響は？
• RQ4 どの条件下で、LBEとCarleman線形化を用いた多スケール流体動力学のシミュレーションに対して、最良の古典的方法と比較して量子の速さアップが現実化できるか？

主な発見

• Carleman打ち切りはρとρuに対してO(Ma^2)に抑制された補正を生み、低Maでの近似が制御されることを示す。
• 巨視的流体特性は階層を成し、高次の補正は保持された項に対してO(Ma^2)の因子で抑制される。
• n-point Carleman LBEは線形でCarleman次数で対角構造を持ち、解の根への効率的な量子アクセスを可能にする。
• Carleman線形化LBEの量子アルゴリズムは、コストが系サイズNに対して対数スケールするという証拠を示す一方で、古典的には多項式スケーリング。
• 全体として、流体力学の非線形多尺度輸送現象のシミュレーションに対する指数的量子利得の可能性を示唆している。
• この分析は、LBEとCarleman線形化を用いて乱流シミュレーションが量子コンピュータ上で実現可能であることを示すように枠組みられている。