[論文レビュー] Potential renormalisation, Lamb shift and mean-force Gibbs state -- to shift or not to shift?

Luis Alfonso Correa, Jonas Glatthard|arXiv (Cornell University)|May 15, 2023

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、一般的な理論的不一致にもかかわらず、弱い結合におけるマスター方程式から再構成エネルギーを差し引き、ランプシフト項を省略しても、低温から中程度の温度、さらには中程度の結合でも、正確な平均力ギブス状態に非常に良い近似が得られることを示している。この成功は、これらの見かけ上正当化されていない手順が、マスター方程式に正しい漸近的定常状態を効果的に埋め込んでいることに起因する。

ABSTRACT

Often, the microscopic interaction mechanism of an open quantum system gives rise to a `counter term' which renormalises the system Hamiltonian. Such term compensates for the distortion of the system's potential due to the finite coupling to the environment. Even if the coupling is weak, the counter term is, in general, not negligible. Similarly, weak-coupling master equations feature a number of `Lamb-shift terms' which, contrary to popular belief, cannot be neglected. Yet, the practice of vanishing both counter term and Lamb shift when dealing with master equations is almost universal; and, surprisingly, it can yield better results. By accepting the conventional wisdom, one may approximate the dynamics more accurately and, importantly, the resulting master equation is guaranteed to equilibrate to the correct steady state in the high-temperature limit. In this paper we discuss why is this the case. Specifically, we show that, if the potential distortion is small -- but non-negligible -- the counter term does not influence any dissipative processes to second order in the coupling. Furthermore, we show that, for large environmental cutoff, the Lamb-shift terms approximately cancel any coherent effects due to the counter term -- this renders the combination of both contributions irrelevant in practice. We thus provide precise conditions under which the open-system folklore regarding Lamb shift and counter terms is rigorously justified.

研究の動機と目的

• 両方の反項とランプシフト項を除去しても理論的不一致があるにもかかわらず、弱い結合マスター方程式で依然として正確な結果が得られるというパラドックスを解明すること。
• ポテンシャルの再正則化（再構成エネルギー）とランプシフト項が、開こう量子系の正しい定常状態ダイナミクスを決定する役割を明確にすること。
• 減衰する調和振動子モデルを用いて、これらの項を併せて省略した場合に、正確な平均力ギブス状態に非常に良い近似が得られることを解析的に示すこと。
• これらの近似が、量子熱力学における正確な熱流量計算に与える重要な意味を強調すること。

提案手法

• 線形結合による熱浴に結合する減衰する量子調和振動子の正確なダイナミクスを解析的に解く。
• 再構成エネルギーを差し引いた再正則化された系ハミルトニアンから、ボーン＝マークォフ・レドフィールドマスター方程式を導出する。
• 得られたマスター方程式からすべてのランプシフト項を体系的に除去し、それらが定常状態に与える影響を評価する。
• 位置と運動量の漸近的共分散行列を計算し、近似マスター方程式と正確な定常状態解を比較する。
• ラプラス変換と固有値分解を用いて、記憶積分とノイズカーネルの寄与の長時間極限を評価する。
• 結果として得られるマスター方程式が、明示的な反項やランプシフト項がなくても、平均力ギブス状態の古典的極限を漸近的に再現することを確立する。

Figure 1: Dynamics of a damped harmonic oscillator. Exact thermalising dynamics of the position variance $\textstyle{\langle\boldsymbol{x}^{2}(t)\rangle}$ relative to $\langle\boldsymbol{x}^{2}\rangle_{\infty}$ , for an oscillator with Hamiltonian $\textstyle{\boldsymbol{H}_{S}=\boldsymbol{H}_{S}^{(

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ弱い結合マスター方程式において反項とランプシフト項の両方を省略しても、定常状態に対して正確な結果が得られるのか？
• RQ2 ランプシフト項を省略した場合、開こう量子系の長時間ダイナミクスを記述するマスター方程式の精度に、どの程度の影響が生じるのか？
• RQ3 系ハミルトニアンに再構成エネルギーを含めることで、系の定常状態特性はどのように変化するのか？
• RQ4 どのパrameter領域（例えば、温度、結合強度）において、物理的に重要な項が省かれたにもかかわらず、近似マスター方程式が依然として正確に保たれるのか？
• RQ5 これらの近似によって、物理的状況が完全に反映されていなくても、平均力ギブス状態を効果的にマスター方程式に埋め込むことができるのか？

主な発見

• 反項とランプシフト項を併せて省略したマスター方程式は、系と浴の結合が弱くても再構成エネルギーが無視できない場合でも、減衰する調和振動子の正確な定常状態を非常に良い近似で得る。
• 結果として得られるマスター方程式は、漸近的に平均力ギブス状態の古典的極限を再現し、近似が正しい定常状態構造を暗黙的に埋め込んでいることを確認する。
• 中程度から低温および中程度の結合強度でも、摂動的仮定が崩れる領域でさえも、近似は正確に保たれる。
• 長時間極限において、位置と運動量の共分散は消失するが、これは平均力ギブス状態と整合的であり、ランプシフト項が存在しないにもかかわらず成立する。
• 正確な定常状態の運動量分散は、記憶積分とノイズカーネルの相互作用によって、近似マスター方程式によって回復され、このアプローチの解析的妥当性が裏付けられる。
• 本研究は、標準的近似の成功が偶然ではなく、重要な物理的項が省かれたにもかかわらず、正しい漸近的状態が効果的に構築されていることに起因することを明らかにする。

Figure 2: Benchmarking the steady state of the master equations. Uhlmann fidelity between the exact steady state $\boldsymbol{\tau}_{MF}$ and the asymptotic state resulting from different master equations, for varying temperature and system–bath coupling. Just like in Fig. 1 the microscopic model in