[論文レビュー] Potential Singularity Formation of 3D Axisymmetric Navier-Stokes Equations with Degenerate Variable Diffusion Coefficients.

Thomas Y. Hou, De Huang|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2021

Navier-Stokes equation solutions参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、原点で有限時間内に局所的に自己相似的な特異点が発生する可能性がある3次元軸対称ナビエ＝ストークス方程式について、非一様で退化する拡散係数を持つ数値的証拠を提示する。この特異点は、非対称な渦双極子が2スケールの移動波を生成し、非線形的な渦の引き伸ばしの一致を引き起こすことで駆動される。特異点は、非線形的対応の渦の引き伸ばしに起因し、有限エネルギーを持つ滑らかな初期データでは正のフィードバックループによって安定化される。

ABSTRACT

In this paper, we present strong numerical evidences that the $3$D incompressible axisymmetric Navier-Stokes equations with degenerate diffusion coefficients and smooth initial data of finite energy develop a potential finite time locally self-similar singularity at the origin. The spatial part of the degenerate diffusion coefficient is a smooth function of $r$ and $z$ independent of the solution and vanishes like $O(r^2)+O(z^2)$ near the origin. This potential singularity is induced by a potential singularity of the $3$D Euler equations. An important feature of this potential singularity is that the solution develops a two-scale traveling wave that travels towards the origin. The two-scale feature is characterized by the property that the center of the traveling wave approaches the origin at a slower rate than the rate of the collapse of the singularity. The driving mechanism for this potential singularity is due to two antisymmetric vortex dipoles that generate a strong shearing layer in both the radial and axial velocity fields. Without the viscous regularization, the $3$D Euler equations develop an additional small scale characterizing the thickness of the sharp front. On the other hand, the Navier-Stokes equations with a constant diffusion coefficient regularize the two-scale solution structure and do not develop a finite time singularity for the same initial data. The initial condition is designed in such a way that it generates a positive feedback loop that enforces a strong nonlinear alignment of vortex stretching, leading to a stable locally self-similar blowup at the origin. We perform careful resolution study and asymptotic scaling analysis to provide further support of the potential finite time locally self-similar blowup.

研究の動機と目的

• 3次元軸対称ナビエ＝ストークス方程式における退化する拡散係数が、滑らかな初期データのもとでも有限時間特異点を引き起こすかどうかを調査すること。
• 原点付近でO(r²) + O(z²)のオーダーで消える拡散係数の役割、特に特異点形成を可能にする要因を理解すること。
• 非対称な渦双極子がどのようにせん断層を生成し、非線形的対応を引き起こし、爆発を駆動するかを明らかにすること。
• 定常拡散係数の下での挙動と対比し、正則化が有限時間爆発を防ぐのに対し、退化係数では特異点形成が可能である点を明らかにすること。
• 解像度の高い研究と漸近的スケーリング解析を通じて、安定で局所的に自己相似的な爆発の存在を検証すること。

提案手法

• 原点付近でO(r²) + O(z²)のオーダーで消える空間依存の拡散係数を有する3次元非圧縮性軸対称ナビエ＝ストークス方程式の数値的シミュレーション。
• 渦の引き伸ばしダイナミクスに正のフィードバックループを誘発するように設計された有限エネルギーを持つ滑らかな初期条件の使用。
• 原点に近づく2スケールの移動波構造を解像度を高く保って解明するための高精度数値スキームの実装。
• 局所的に自己相似的な特異点の性質を検証し、爆発挙動を確認するための漸近的スケーリング解析。
• 特異点発展における粘性正則化の役割を隔離するために、3次元オイラー方程式との比較。
• 非対称な渦双極子が引き起こすせん断層の形成を特定するため、半径方向および軸方向の速度場の進化を追跡すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元軸対称ナビエ＝ストークス方程式における退化する拡散係数が、滑らかな初期データのもとでも有限時間、局所的に自己相似的な特異点を引き起こすか。
• RQ2 2スケールの移動波構造がそのような特異点の形成に果たす役割は何か。また、その波の収縮速度と原点への波の中心の接近速度の比較は。
• RQ3 非対称な渦双極子がどのようにせん断層を生成し、非線形的対応を引き起こし、爆発メカニズムを維持するか。
• RQ4 同じ初期データが定常拡散係数のもとではなぜ有限時間特異点を生成しないのか。この文脈における粘性正則化の役割は何か。
• RQ5 漸近的スケーリングおよび解像度の高い研究が、安定で自己相似的な爆発プロファイルの存在をどの程度支持するか。

主な発見

• 非一様で退化する拡散係数を有する3次元軸対称ナビエ＝ストークス方程式は、高解像度のシミュレーションにより原点に有限時間特異点を示す可能性がある。
• 特異点は局所的に自己相似的であり、その中心が原点に近づく速度が波の収縮速度より遅い2スケールの移動波によって駆動される。
• 初期条件によって強制される渦の引き伸ばしにおける正のフィードバックループが、爆発プロセスを安定化させ、非線形的対応を維持する。
• 特異点のメカニズムは、非対称な渦双極子が半径方向および軸方向の速度場において強いせん断層を生成することに起因する。
• 定常拡散係数を有するナビエ＝ストークス方程式とは対照的に、正則化が解を安定化させ爆発を防ぐのに対し、退化係数の場合は特異点形成が可能である。
• 漸近的スケーリングおよび解像度の高い研究により、潜在的特異点の自己相似的性質と安定性が強く支持される。