[論文レビュー] Potential theory for a class of strongly degenerate parabolic operators of Kolmogorov type with rough coefficients

Malte Litsgård, Kaj Nyström|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非有界リプシッツ型領域における滑らでない有界可測係数をもつ強力に退化する放物型コルモゴロフ型作用素に対する頑健なポテンシャル理論を確立する。スケールおよび平行移動不変推定値を用いて、境界ハーナック不等式、放物測度の二重性、比較原理を証明し、すべての定数が楕円性定数およびリプシッツ定数にのみ依存することを示し、古典的ファビース・サフォノフの結果を退化設定に拡張する。

ABSTRACT

In this paper we develop a potential theory for strongly degenerate parabolic operators of the form \[ \mathcal{L}:= abla_X\cdot(A(X,Y,t) abla_X)+X\cdot abla_{Y}-\partial_t, \] in unbounded domains of the form \[ Ω=\{(X,Y,t)=(x,x_{m},y,y_{m},t)\in\mathbb R^{m-1} imes\mathbb R imes\mathbb R^{m-1} imes\mathbb R imes\mathbb R\mid x_m>ψ(x,y,y_m,t)\}, \] where $ψ$ is assumed to satisfy a uniform Lipschitz condition adapted to the dilation structure and the (non-Euclidean) Lie group underlying the operator $\mathcal{L}$. Concerning $A=A(X,Y,t)$ we assume that $A$ is bounded, measurable, symmetric and uniformly elliptic (as a matrix in $\mathbb R^{m}$). Beyond the solvability of the Dirichlet problem and other fundamental properties our results include scale and translation invariant boundary comparison principles, boundary Harnack inequalities and doubling properties of associated parabolic measures. All of our estimates are translation- and scale-invariant with constants only depending on the constants defining the boundedness and ellipticity of $A$ and the Lipschitz constant of $ψ$. Our results represent a version, for operators of Kolmogorov type with bounded, measurable coefficients, of the by now classical results of Fabes and Safonov, any several others, concerning boundary estimates for uniformly parabolic equations in (time-dependent) Lipschitz type domains.

研究の動機と目的

• 一様放物型方程式に対しては既知であった古典的境界ポテンシャル理論を、滑らでない係数をもつ強力に退化するコルモゴロフ型放物型作用素のクラスへ拡張すること。
• 基礎となる非ユークリッド的リー群構造に適合した幾何的性質を持つ非有界リプシッツ型領域におけるディリクレ問題の可解性を確立すること。
• 空間的・時間的移動不変の境界比較原理、境界ハーナック不等式、および作用素に関連する放物測度の二重性を導出すること。
• ファビースとサフォノフの結果を退化作用素へ一般化し、楕円性定数および領域のリプシッツ定数にのみ明示的な依存関係を持つ定量的推定を証明すること。

提案手法

• 解析は、コルモゴロフ作用素の背後にあるリー群の拡大構造に適合したリプシッツ境界関数 $\psi$ で定義される非有界領域上で行われる。
• 作用素 $\mathcal{L} = \nabla_X \cdot (A(X,Y,t)\nabla_X) + X\cdot\nabla_Y - \partial_t$ は、$A$ が $\mathbb{R}^m$ 上で有界、可測、対称的かつ一様楕円的であるとして、発散型で調べられる。
• 主な道具は、作用素に関連する基本解およびグリーン関数 $G$ の使用であり、特に放物型シリンダー $A_{r,\Lambda}^+(Z_0,t_0)$ 内で調査することで、調和測度を分析する。
• 境界ハーナック不等式は、グリーン関数および放物測度 $\omega$ の比較を通じて導出され、Lemma 8.1 および Lemma 8.4 の推定値を用いて測度の比を制御する。
• 証明は、随伴作用素のハーナック不等式およびスケーリング論法に依存し、位置やスケールに依存しない一様推定値を導出する。
• 理論は、コルモゴロフ作用素が非等方的スケーリングをもつ、退化放物型方程式の典型例であるという構造に基づいている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数行列 $A$ が滑らかではなく有界かつ可測である場合に、強力に退化するコルモゴロフ型放物型作用素に対して境界ポテンシャル理論を構築できるか。
• RQ2 このような滑らでない係数仮定のもとで、非有界リプシッツ型領域における境界ハーナック不等式および放物測度の二重性が成り立つか。
• RQ3 境界推定値における定数を空間的・時間的位置に依存させず、楕円性定数および領域のリプシッツ定数にのみ依存させられるか。
• RQ4 このような退化設定において、境界で消える非負解の間でスケールおよび平行移動不変の比較原理が存在するか。
• RQ5 一様放物型方程式に対する古典的結果が、このクラスの退化コルモゴロフ型作用素へどの程度まで拡張可能か。

主な発見

• 境界ハーナック不等式が、$A$ の楕円性定数および $\psi$ のリプシッツ定数にのみ依存する定数をもって確立され、位置やスケールに依存しない。
• 作用素に関連する放物測度は二重性を示し、二重性定数は楕円性定数およびリプシッツ定数にのみ依存する。
• スケールおよび平行移動不変の境界比較原理が証明され、境界で消える非負解の比較が可能になる。
• 部分集合 $E \subset \Delta_{\tilde{r}}(\tilde{Z}_0,\tilde{t}_0)$ に対して、放物測度の比 $\omega(A_{cr,\Lambda}^+(Z_0,t_0), E)/\omega(A_{cr,\Lambda}^+(Z_0,t_0), \Delta_{\tilde{r}}(\tilde{Z}_0,\tilde{t}_0))$ は、$\omega(A_{c\tilde{r},\Lambda}^+(\tilde{Z}_0,\bar{t}_0), E)$ と比較可能であることが示された。
• グリーン関数比 $G(A_{c\tilde{r},\Lambda}^+(\tilde{Z}_0,\tilde{t}_0), A_{\tilde{r}/\tilde{c},\Lambda}(\tilde{Z}_0,\tilde{t}_0)) / G(A_{cr,\Lambda}^+(Z_0,t_0), A_{\tilde{r}/\tilde{c},\Lambda}(\tilde{Z}_0,\tilde{t}_0))$ は、下限および上限において一様に有界である。
• すべての推定値は平行移動およびスケール不変であり、定数は $m$, $\kappa$, $M$ および楕円性定数およびリプシッツ定数にのみ依存し、領域の幾何的性質を超えては依存しない。