[論文レビュー] Potential Theory in Classical Electrodynamics

W. Engelhardt|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2012

Geophysics and Sensor Technology参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、マクスウェルの一次方程式に、ファラデーの法則とマクスウェルの磁束法則の間で内部的矛盾が存在することを示し、古典電磁力学の基礎的整合性に疑問を呈する。これによりゲージ不変性が損なわれ、一意な解が得られなくなる。また、非同次波動方程式を解くために一般的に用いられる遅延ポテンシャルが、源が一定速度で移動する場合に方程式を満たさないことが示され、ポテンシャル法は特に平板コンデンサーのような系において、ベクトルポテンシャルの発散の任意選択に起因するこの矛盾を隠蔽していることが明らかになる。

ABSTRACT

In Maxwell's classical theory of electrodynamics the fields are frequently expressed by potentials in order to facilitate the solution of the first order system of equations. This method obscures, however, that there exists an inconsistency between Faraday's law of induction and Maxwell's flux law. As a consequence of this internal contradiction there is neither gauge invariance, nor exist unique solutions in general. It is also demonstrated that inhomogeneous wave equations cannot be solved by retarded integrals.

研究の動機と目的

• 古典電磁力学におけるマクスウェルの一次方程式に内在する不整合を特定・分析すること。
• スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルを用いる標準的ポテンシャル法が、一意的かつ一貫した解をもたらすかどうかを調査すること。
• 非同次波動方程式に対する遅延積分が、電磁力学において有効であるかどうかを検証すること。
• ベクトルポテンシャルの発散を任意に選べないことを示し、それが場の整合性を破ることを明らかにすること。
• ファラデーの誘導の法則とマクスウェルの磁束法則の間にある根本的矛盾が、ポテンシャル法によって隠蔽されていることの証明。

提案手法

• ベクトルポテンシャル $\vec{A}$ とスカラーポテンシャル $\phi$ を用いた場の表式 $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$, $\vec{E} = -\nabla\phi - \frac{1}{c}\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}$ 及びそのゲージ不変性 $\vec{A} \to \vec{A} + \nabla\psi$, $\phi \to \phi - \frac{1}{c}\frac{\partial\psi}{\partial t}$ の分析。
• スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルを、源依存部とゲージ依存部に分解：$\phi = \phi_1 + \phi_2$, $\vec{A} = \vec{A}_1 + \vec{A}_2$、ここで $\chi = \nabla \cdot \vec{A}$ がゲージパラメータ。
• ヘルムホルツの定理を適用し、$\chi = 0$ のとき $\phi_1$ と $\vec{A}_1$ が一意に場を決定することを示し、これはクーロンゲージに対応する。
• ゲージ不変性のための必要条件 $\nabla \times \vec{A}_2 = 0$ および $\nabla\phi_2 + \frac{1}{c}\frac{\partial\vec{A}_2}{\partial t} = 0$ を導出し、これにより $\vec{A}_2 = \nabla U$ および $\phi_2 = -\frac{1}{c}\frac{\partial U}{\partial t}$ が得られる。
• 一様に移動する点電荷に対するリエニャール＝ヴィエッヒャー・ポテンシャルを評価し、これが非同次波動方程式を満たさないことを示す。
• 体積積分と球座標を用いて平板コンデンサー内の場の寄与を計算し、磁場 $\vec{B}$ を導出する二通りの方法が不一致を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典電磁力学における標準的ポテンシャル法は、電磁場に対して一意的かつゲージ不変な解をもたらすか？
• RQ2 特に移動する電荷に対して、ベクトルポテンシャルの非同次波動方程式を遅延積分で一貫して解くことができるか？
• RQ3 一次マクスウェル方程式において、ファラデーの誘導の法則とマクスウェルの磁束法則の間に内部的不整合があるか？
• RQ4 ローレンツゲージにおける解とクーロンゲージにおける解が異なるのはなぜか？これはポテンシャル法の有効性に何を示唆するか？
• RQ5 リエニャール＝ヴィエッヒャー・スカラーポテンシャルは、一様に移動する点電荷に対する非同次波動方程式の有効な解と見なせるか？

主な発見

• 古典電磁力学におけるポテンシャル法は、ファラデーの法則とマクスウェルの磁束法則の間の内部的不整合を隠蔽しており、これによりゲージ不変性が破れ、一意な解が得られなくなる。
• ベクトルポテンシャルの発散 $\chi = \nabla \cdot \vec{A}$ は任意に選べない。場の表現がゲージ選択に依存しないようにするための制約がある。
• 一様に移動する点電荷に対するリエニャール＝ヴィエッヒャー・スカラーポテンシャルは非同次波動方程式を満たさず、標準的な遅延解法が無効であることが示される。
• 平板コンデンサーにおいて、電流から導かれる $\vec{B}$ と時間変化する電場から導かれる $\vec{B}$ の二つの導出結果が不一致を示し、系の整合性が崩れていることが明らかになる。
• 一般に、非同次波動方程式は遅延積分によって解けるわけではない。これは、源と場が異なる時刻に評価されると仮定しているが、方程式ではそれらが同時に依存しているため、矛盾を生じる。
• マクスウェルが光の理論で取り扱ったのは、源から分離された一貫した電磁波を記述する同次波動方程式に限られる。非同次ケースは標準的枠組みにおいて根本的に解けない。