[論文レビュー] Potential theory in several quaternionic variables

Dongrui Wan|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$\ mathbb{H}^n$ において、シュワルツチルのポテンシャル理論を確立し、複素数のポテンシャル理論における主要な結果をクaternion的設定へと拡張する。具体的には、全空間 $\ mathbb{H}^n$ 上で、シュワルツチルのポテンシャル理論の枠組みを構築し、複素数のポテンシャル理論における主要な結果をクォータニオン的設定へと拡張する。複素数のポテンシャル理論における主要な結果をクォータニオン的設定へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we establish the quaternionic versions of the potential description of various "small" sets related to the quaternionic plurisubharmonic functions in $\mathbb{H}^n$. We use the quaternionic capacity introduced in \cite{wan4} to characterize the $(-\infty)$-sets of plurisubharmonic functions, as the sets of the vanishing capacity. The latter requirement is also equivalent to the negligibility of the set. We also prove the Josefson's theorem on the equivalence of the locally and globally quaternionic polar sets in $\mathbb{H}^n$, following the method of Bedford-Taylor.

研究の動機と目的

• クォータニオン的複素数ポテンシャル理論における小さな集合のためのポテンシャル的枠組みを構築すること。
• 新しく定義されたクォータニオン的容量を用いて、クォータニオン的複素数ポテンシャル理論における $(-\infty)$-集合を特徴付けること。
• ベッドフォード＝トーマスの手法に従い、$\ mathbb{H}^n$ における局所的およびグローバルなクォータニオン的極的集合の同値性を示すヨゼフソンの定理を証明すること。
• 上界包の下で定義される $\ mathbb{H}^n$ 内の無視可能な集合が、クォータニオン的極的集合と完全に一致することを示すこと。

提案手法

• クォータニオンのマソン＝アーベル作用素 $(\triangle u)^n$ を根拠とするクォータニオン的容量 $C^*(E,\Omega)$ を導入する。
• クォータニオンのヘッセ行列とムーア行列式を、微分形式 $d_0, d_1$ を用いて定義されるバストン作用素 $\triangle$ を介して扱う。
• 上半連続正規化 $u^*$ を用いて容量を定義し、その連続性および劣加法性を研究する。
• クォータニオン的複素数ポテンシャル理論における比較原理および擬連続性を用いて、容量の挙動を分析する。
• チョケットの容量理論を用いて、すべてのシュズリン集合が容量可能である、すなわち $C^*(E,\Omega) = C(E,\Omega)$ であることを示す。
• ある集合が無視可能であることと、その容量が消えることの同値性を証明し、極的集合と一致させることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クォータニオン的複素数ポテンシャル理論における $(-\infty)$-集合は、$\ mathbb{H}^n$ 内で容量的枠組みによって特徴付けられるか。
• RQ2 複素数の場合と同様に、$\ mathbb{H}^n$ 内で局所的クォータニオン的極的集合の概念とグローバルなクォータニオン的極的集合の概念は同値か。
• RQ3 クォータニオン的容量 $C^*(E,\Omega)$ は、強擬凸領域上で一般化容量の公理を満たすか。
• RQ4 上界包による定義された $\ mathbb{H}^n$ 内の無視可能な集合は、正確にゼロのクォータニオン的容量を持つ集合と一致するか。

主な発見

• クォータニオン的複素数ポテンシャル理論における $(-\infty)$-集合は、正確にクォータニオン的容量がゼロとなる集合に一致する。
• 集合 $P \subseteq \mathbb{H}^n$ がグローバルにクォータニオン的極的集合であるための必要十分条件は、$C^*(P,\mathbb{H}^n) = 0$ であることである。これにより、容量的特徴付けが確立された。
• 本稿はヨゼフソンの定理を証明する。すなわち、$\ mathbb{H}^n$ 内で、任意の局所的クォータニオン的極的集合はグローバルにクォータニオン的極的集合である。ベッドフォード＝トーマスのアプローチに従って証明された。
• 上界包 $u = \sup u_\alpha$ を用いて定義される $\ mathbb{H}^n$ 内の無視可能な集合 $\{q \in \Omega : u(q) < u^*(q)\}$ は、正確にゼロのクォータニオン的容量を持つ集合に一致する。
• 関数 $E \mapsto C^*(E,\Omega)$ は、強擬凸領域上で一般化容量の性質を満たしており、連続性および単調性の性質を有する。
• すべてのシュズリン集合（特にボレル集合）は容量可能である。すなわち $C^*(E,\Omega) = C(E,\Omega)$ であり、測度可能な集合に対して容量が適切に定義されていることが保証される。