[論文レビュー] Power Circuits, Exponential Algebra, and Time Complexity

Alexei Myasnikov, Alexander Ushakov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2010

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、指数関数的に大きな数値の効率的な計算を可能にする、整数の新しい圧縮表現であるパワーサーキットを導入する。整数を演算 $x \mapsto x \cdot 2^y$ を用いた有向無閉路グラフで符号化することで、著者らは基本的な算術および比較演算、および指数的代数の量化子なし理論が多項式時間で決定可能であることを示し、標準的な2進表現における超指数的爆発的増大を克服する。

ABSTRACT

Motivated by algorithmic problems from combinatorial group theory we study computational properties of integers equipped with binary operations +, -, z = x 2^y, z = x 2^{-y} (the former two are partial) and predicates < and =. Notice that in this case very large numbers, which are obtained as n towers of exponentiation in the base 2 can be realized as n applications of the operation x2^y, so working with such numbers given in the usual binary expansions requires super exponential space. We define a new compressed representation for integers by power circuits (a particular type of straight-line programs) which is unique and easily computable, and show that the operations above can be performed in polynomial time if the numbers are presented by power circuits. We mention several applications of this technique to algorithmic problems, in particular, we prove that the quantifier-free theories of various exponential algebras are decidable in polynomial time, as well as the word problems in some "hard to crack" one-relator groups.

研究の動機と目的

• 反復的累乗によって生じる非常に大きな整数の操作における計算の非効率性を解消すること。特に、標準的な2進表現における計算の非効率性に焦点を当てる。
• 算術演算を高速に実行できる、圧縮可能で一意的かつ効率的に計算可能な整数表現を構築すること。
• さまざまな指数的代数の量化子なし理論が多項式時間で決定可能であることを証明すること。
• このフレームワークを用いて、特定の1関係子群における語問題を含む、組合せ的群論における困難なアルゴリズム的問題を解くこと。

提案手法

• 定数および演算 $x \cdot 2^y$、$x \cdot 2^{-y}$、$+$、$-$ をラベルとして持つ、有向無閉路グラフとして整数を表現する。
• 標準形、縮約形、正規形というパワーサーキットの形式を定義し、一意性を保証するとともに、効率的な評価を可能にする。
• 幾何的順序付けと頂点同値性に基づく還元プロセスを導入し、サーキットを正規化し、サイズを最小化する。
• 項の評価と正規形の計算を用いて、加算、減算、累乗、比較を多項式時間で実行する。
• パワーサーキット表現を活用し、指数的代数における量化子なし論理式の効率的符号化と評価を実現する。
• 乗算の過程でサーキットサイズが指数関数的に増大することを示し、計算上の本質的限界を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特定の1関係子群における語問題は、パワーサーキットを用いることで多項式時間で解けるか。
• RQ2 加法、減法、および2の累乗による累乗を含む構造 $\tilde{Z}$ の量化子なし理論は、多項式時間で決定可能か。
• RQ3 パワーサーキットモデルにおいて、$3x = \mathcal{P}$ のような線形方程式を解く時間計算量はいかほどか。
• RQ4 任意の自然数に対して、最小サイズの定数パワーサーキットを効率的に計算できるか。
• RQ5 構造 $\tilde{N} = \langle \mathbb{N}_{>0}; +, \cdot 2^y, \leq, 1 \rangle$ の存在的理論は決定可能か。

主な発見

• 量化子なし理論 $\tilde{Z}$ はパワーサーキットを用いて多項式時間で決定可能である。
• 量化子なし理論 $\tilde{N} = \langle \mathbb{N}; +, \cdot 2^y, \cdot 2^{-y}, \leq, 0, 1 \rangle$ は多項式時間で決定可能である。
• 特定の1関係子群における語問題は、パワーサーキット表現を用いて多項式時間で解ける。
• $3x = \mathcal{P}$ のような線形方程式を解くには、サーキットサイズの爆発的増大のため、最悪ケースで超指数的時間が必要となる可能性がある。
• $n$ 個のパワーサーキットの積は、サイズが少なくとも $2^{n-3}$ に達するサーキットを要することがあり、乗算における本質的指数的増大を示している。
• 与えられた整数の最小パワーサーキット表現を計算するには、超指数的時間が必要となる可能性があり、根本的な計算複雑性の障壁を示している。