[論文レビュー] Power-Controlled Hamiltonian Systems: Application to Electrical Systems with Constant Power Loads

Pooya Monshizadeh, Juan E. Machado+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2018

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 37被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、制御または摂動がフロー変数ではなくパワーに作用するパワー制御型ハミルトニアン（PwH）システムを導入し、定常パワー負荷（CPL）を有する電気系の安定性解析を可能にする。シフトされたハミルトニアンをリャプノフ関数として用いることで、シフトされたパassing性の十分条件を導出し、2次ハミルトニアンを有する系について、吸引領域（ROA）の解析的推定値を提示。DC回路および同期発電機において検証済み。

ABSTRACT

We study a type of port-Hamiltonian system, in which the controller or disturbance is not applied to the flow variables, but to the systems power, a scenario that appears in many practical applications. A suitable framework is provided to model these systems and to investigate their shifted passivity properties, based on which, a stability analysis is carried out. The applicability of the results is illustrated with the important problem of stability analysis of electrical circuits with constant power loads.

研究の動機と目的

• 定常パワー負荷（CPL）を有する電気系で一般的に見られるように、入力がフロー変数ではなくパワーに作用するポート・ハミルトニアン系のクラスをモデル化・分析すること。
• ハミルトニアンの平衡点からのブレグマン距離に基づくシフトされたストレージ関数を用いて、これらの系のシフトされたパassing性特性を確立すること。
• 2次ハミルトニアンを有するPwH系の平衡点の吸引領域（ROA）を推定する体系的な手法を提供すること。
• 実用的問題への応用：CPLに接続されたDC回路および同期発電機の安定性解析に本フレームワークを適用すること。
• 提案手法が、従来の Brayton-Moser ポテンシャルに基づく手法と比較して、より保守的でないROA推定値をもたらすことを示すこと。

提案手法

• 入力行列 $ G(x) $ がハミルトニアンの勾配に依存する、パワー制御型ハミルトニアン（PwH）システムという、ポート・ハミルトニアン系の新規クラスを提案。これはパワーに基づく駆動を反映している。
• ブレグマン距離から導出される、シフトされたストレージ関数 $ \tilde{\rho}(x) = \rho(x) - \rho(x_e) - \nabla \mathcal{H}(x_e)^\top (x - x_e) $ を導入し、シフトされたパassing性の分析に用いる。
• 系のダイナミクス下で、シフトされたハミルトニアンの時間微分が負半定値であることを保証することで、シフトされたパassing性の十分条件を導出する。
• シフトされたハミルトニアンをリャプノフ関数として用い、平衡点の漸近的安定性および吸引領域（ROA）の推定を証明する。
• CPLを有するDC RLC回路および同期発電機モデルにフレームワークを適用し、シフトされたパassing性条件を用いて楕円体型ROA推定値を計算する。
• 数値シミュレーションを用いて手法を検証し、推定されたROAが従来手法よりも真の吸引域をより正確に捉えていることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御または摂動がシステムのパワーに作用する場合、ポート・ハミルトニアン系はどのようにモデル化できるか？
• RQ2 パワー制御型ハミルトニアン（PwH）系において、シフトされたパassing性を保証する条件は何か？これにより安定性解析が可能になる。
• RQ3 2次ハミルトニアンを有するPwH系の平衡点の吸引領域（ROA）は、シフトされたハミルトニアンをリャプノフ関数として用いて解析的に推定可能か？
• RQ4 本手法は、定常パワー負荷を有する系のROA推定において、従来の Brayton-Moser ポテンシャルに基づく手法と比較してどのように異なるか？
• RQ5 本フレームワークは、CPLを有する実際の電気系、例えばDC回路および同期発電機に適用可能か？

主な発見

• 提案されたPwHフレームワークにより、入力がパワーに作用する系、特に定常パワー負荷（CPL）を有する電気回路など、不安定化を引き起こすと知られる系の安定性解析が可能になる。
• シフトされたハミルトニアン関数は、導出されたシフトされたパassing性条件の下で、有効なリャプノフ関数として機能し、平衡点の漸近的安定性を保証する。
• 2次ハミルトニアンを有する系において、楕円体型の吸引領域（ROA）推定値が解析的に導出され、Brayton-Moser ポテンシャルに基づく推定値よりも保守的でないことが示された。
• CPLを有するDC RLC回路において、本手法は正確な楕円体型ROAを計算し、シミュレーションにより推定内では収束、推定外では発散するという結果が確認された。
• 同期発電機モデルにおいて、$ \Omega_p = \{ \omega \in \mathbb{R}_+ : \omega > \bar{\omega}_u \} $ が正の不変集合であり、有効なROA推定値であることが同定され、この集合内ではすべての軌道が安定平衡点 $ \bar{\omega}_s $ に収束した。
• 数値結果により、提案されたROA推定値がタイトであり、真の吸引域を的確に捉えていることが確認され、保守性および計算複雑性の面で従来手法を上回っている。