[論文レビュー] Power Functions over Finite Fields with Low $c$-Differential Uniformity

Haode Yan, Sihem Mesnager+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 25被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、有限体上でのべき関数 $ F(x) = x^d $ の $ c $-微分均一性を調査し、低 $ c $-微分均一性を示す新しい関数クラスを導入する。Gold指数関数がほぼ完全な $ c $-非線形性を示し、最近提唱された例外的準平面的べき関数に関する予想を確認し、その $ c $-微分均一性が4以下であることを立証する。

ABSTRACT

Very recently, a new concept called multiplicative differential (and the corresponding $c$-differential uniformity) was introduced by Ellingsen extit{et al} in [C-differentials, multiplicative uniformity and (almost) perfect c-nonlinearity, IEEE Trans. Inform. Theory, 2020] which is motivated from practical differential cryptanalysis. Unlike classical perfect nonlinear functions, there are perfect $c$-nonlinear functions even for characteristic two. The objective of this paper is to study power function $F(x)=x^d$ over finite fields with low $c$-differential uniformity. Some power functions are shown to be perfect $c$-nonlinear or almost perfect $c$-nonlinear. Notably, we completely determine the $c$-differential uniformity of almost perfect nonlinear functions with the well-known Gold exponent. We also give an affirmative solution to a recent conjecture proposed by Bartoli and Timpanella in 2019 related to an exceptional quasi-planar power function.

研究の動機と目的

• 有限体上でのべき関数 $ F(x) = x^d $ の $ c $-微分均一性を分析し、微分暗号解読に対する耐性向上の文脈で検討する。
• 低 $ c $-微分均一性を示すべき関数、特に完全 $ c $-非線形（PcN）およびほぼ完全 $ c $-非線形（APcN）関数を特定・特徴付ける。
• BartoliとTimpanellaが提起した、例外的準平面的べき関数の $ c $-微分均一性に関する最近の予想を解決する。
• 特に、PcN関数が以前は不可能とされていた偶数特性の体において、古典的微分均一性を超えた $ c $-微分均一性の理論を拡張する。

提案手法

• 著者らは $ c $-微分 $ {}_cD_aF(x) = F(x+a) - cF(x) $ を定義し、$ a \neq 0 $ のとき $ F(x+a) - cF(x) = b $ の解の個数を分析する。
• 解の個数を数えるために、Legendre記号に基づくケース分析と、$ \mathrm{GF}(p^n)^\sharp $ の部分集合（$ x $ と $ x+1 $ の二次的特性による分割）を用いる。
• 解の個数の分析は、$ c $ の値、体の特性 $ p $、および $ b $ が $ \mathrm{GF}(p^n)^* $ 内で平方数か非平方数かに応じてケースごとに区別する。
• 特に $ d = 2^k + 1 $ の場合に、方程式 $ (x+1)^d + x^d = b $ の解の個数を、二次残留および非残留の性質を用いて評価する。
• 対称性を利用：$ x $ が解であれば $ -x-1 $ も解であることが示され、特に $ d $ が偶数で $ p^n \equiv 3 \pmod{4} $ のとき顕著である。
• 解の個数を四つの互いに素な集合 $ S_{\chi(x), \chi(x+1)} $ に分けて分析し、$ {}_c\Delta_F $ の上限を導出。その結果、$ p^n \equiv 1 \text{ または } 3 \pmod{4} $ のとき、均一な上限4が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体上でのべき関数 $ F(x) = x^d $ のうち、特に $ c $-微分均一性が1または2であるものはどれか？
• RQ2 偶数特性の体において、べき関数から完全 $ c $-非線形（PcN）またはほぼ完全 $ c $-非線形（APcN）関数を構成できるか？
• RQ3 $ \mathrm{GF}(2^n) $ 上でのGold指数関数 $ x^{2^k + 1} $ の正確な $ c $-微分均一性は何か？
• RQ4 BartoliとTimpanellaが予想した例外的準平面的べき関数は、実際に $ c $-微分均一性が4以下であるか？
• RQ5 特に $ c \neq 1 $ のとき、べき関数の $ c $-微分均一性は $ c $、体のサイズ、および指数 $ d $ にどのように依存するか？

主な発見

• 有限体 $ \mathrm{GF}(2^n) $ 上でのGold指数関数 $ x^{2^k + 1} $ の $ c $-微分均一性は4以下であり、特定の $ c $ に対してほぼ完全 $ c $-非線形性を示す。
• $ p^n \equiv 1 \pmod{4} $ のとき、$ d = 2^k + 1 $ の $ x^d $ の $ c $-微分均一性は4で抑えられる。
• $ p^n \equiv 3 \pmod{4} $ のとき、$ d = 2^k + 1 $ の $ x^d $ の $ c $-微分均一性も4で抑えられる。
• 本稿はBartoliとTimpanellaの予想を確認した：例外的準平面的べき関数の $ c $-微分均一性は4以下である。
• 著者らは、$ p^n \equiv 3 \pmod{4} $ のとき、$ c = -1 $ に対して $ x^{2^k + 1} $ がほぼ完全 $ c $-非線形（APcN）であることを立証した。
• 本研究により、$ \mathrm{GF}(2^n) $ 上に完全 $ c $-非線形（PcN）関数が存在することが立証され、古典的仮定（PcN関数は奇数特性でのみ存在可能）を覆した。