[論文レビュー] Power law distribution of seismic rates: theory and data

А. И. Саичев, Didier Sornette|ArXiv.org|Dec 7, 2004

Geotechnical and Geomechanical Engineering被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、カリフォルニア南西部の空間時間ボックスにおける地震頻度分布のパワー則尾根が、ETASモデルにおける連鎖的地震誘発によって生じるものであり、安定した指数 μ ≈ 1.6 を示すと提唱している。事前に存在する凍結された不均一性を断層ネットワークに組み込むことで、最大の時間窓でキャリブレーションしたパラメータを用いて1〜1000日までの時間窓すべてで実証データの分布をうまく予測でき、ポisson統計に基づく予測手法や分離手法の有効性に疑問を呈する。

ABSTRACT

We report an empirical determination of the probability density functions P(r) of the number r of earthquakes in finite space-time windows for the California catalog, over fixed spatial boxes 5 x 5 km^2 and time intervals dt =1, 10, 100 and 1000 days. We find a stable power law tail P(r) ~ 1/r^{1+mu} with exponent mu \approx 1.6 for all time intervals. These observations are explained by a simple stochastic branching process previously studied by many authors, the ETAS (epidemic-type aftershock sequence) model which assumes that each earthquake can trigger other earthquakes (``aftershocks''). An aftershock sequence results in this model from the cascade of aftershocks of each past earthquake. We develop the full theory in terms of generating functions for describing the space-time organization of earthquake sequences and develop several approximations to solve the equations. The calibration of the theory to the empirical observations shows that it is essential to augment the ETAS model by taking account of the pre-existing frozen heterogeneity of spontaneous earthquake sources. This seems natural in view of the complex multi-scale nature of fault networks, on which earthquakes nucleate. Our extended theory is able to account for the empirical observation satisfactorily. In particular, the adjustable parameters are determined by fitting the largest time window $dt=1000$ days and are then used as frozen in the formulas for other time scales, with very good agreement with the empirical data.

研究の動機と目的

• カリフォルニア南西部の空間時間ボックスにおける地震頻度分布に観測されたパワー則尾根を説明すること。
• 地震頻度の重尾分布が、統計的ごまかしではなく、誘発地震モデル固有の性質であるかどうかを検証すること。
• 自発的地震源における事前に存在する凍結不均一性をETASモデルに組み込むことで、実証データにさらに適合させるモデル改善を図ること。
• ポisson統計に基づく地震予測や分離手法の使用が、地震頻度の真の分布を誤って表現している可能性を指摘すること。

提案手法

• 著者たちは、ETAS分岐過程フレームワーク内での地震系列の空間時間的組織をモデル化するために、母関数を用いる。
• 母関数および確率分布の近似を展開し、有限空間窓に対しては要因分解法を用いる。
• 空間的に不均一で、事前に存在する自発的地震源の分布を、凍結した応力／断層ネットワークとしてモデル化する。
• 非線形積分方程式の数値解法を用いて、解析的近似の妥当性を検証する。
• モデルは最大の時間窓（dt = 1000日）でキャリブレーションされ、同じパラメータを用いてより小さな窓でも検証される。
• 理論的予測は、カリフォルニア地震カタログの実証データと、4つの時間窓（1日、10日、100日、1000日）で比較される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ、空間時間ボックスにおける地震頻度の実証分布が、1〜1000日までの複数の時間スケールで安定したパワー則尾根（指数 μ ≈ 1.6）を示すのか？
• RQ2 誘発地震モデルに基づくETASモデルが、ポisson統計に依存せずに観測された地震頻度の重尾分布を説明できるか？
• RQ3 自発的地震源における事前に存在する凍結不均一性の組み込みが、実証データへの適合性をどのように向上させるか？
• RQ4 ポisson統計に基づく標準的な分離手法や尤度スコアリング法が、地震頻度の固有の重尾性のため、どの程度根本的に誤りであるか？

主な発見

• カリフォルニアにおける地震頻度の実証確率密度関数は、1〜1000日までのすべての時間窓で、P_data(r) ∼ 1/r^{1+μ} という安定したパワー則尾根を示し、指数 μ ≈ 1.6 である。
• 連鎖的後震を伴うETASモデルは、地震頻度に自然にパワー則尾根を生成でき、観測された重尾分布を説明できる。
• 有限な空間時間窓に対しては、自発的地震源における事前に存在する凍結不均一性の組み込みが、実証データとの定量的一致に不可欠である。
• 1000日窓でキャリブレーションしたモデルパラメータが、再フィッティングなしに短い窓（1日、10日、100日）の分布をうまく予測でき、モデルの強健性とスケール不変性を示している。
• 有限領域における要因分解近似は、正確な数値解と半定量的に一致するが、rが大きい領域で真の分布の減衰が速いという主な差異が生じる。
• これらの結果は、ポisson統計に基づく尤度スコアや分離手法が、地震頻度の固有の重尾性のため、根本的に誤りである可能性を示唆する。