[論文レビュー] Power-law distributions in economics: a nonextensive statistical approach

Sı́lvio M. Duarte Queirós, Celia Anteneodo+1 more|RePEc: Research Papers in Economics|Mar 2, 2005

Statistical Mechanics and Entropy被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$S_q$ エントロピーに基づく非拡張統計力学の枠組みを提案し、特に株式取引量とリターンにおけるパワー則分布をモデル化する。加法的・乗法的確率過程に、変動する逆温度を組み合わせることで、実証的金融データと一致する$q$-ガウス分布およびパワー則尾を有する分布を導出する。これは、標準的なブラウン運動を超えて、肥大尾分布を統一的に説明するメカニズムを提供する。

ABSTRACT

The cornerstone of Boltzmann-Gibbs ($BG$) statistical mechanics is the Boltzmann-Gibbs-Jaynes-Shannon entropy $S_{BG} \equiv -k\int dx f(x)\ln f(x)$, where $k$ is a positive constant and $f(x)$ a probability density function. This theory has exibited, along more than one century, great success in the treatment of systems where short spatio/temporal correlations dominate. There are, however, anomalous natural and artificial systems that violate the basic requirements for its applicability. Different physical entropies, other than the standard one, appear to be necessary in order to satisfactorily deal with such anomalies. One of such entropies is $S_q \equiv k (1-\int dx [f(x)]^q)/(1-q)$ (with $S_1=S_{BG}$), where the entropic index $q$ is a real parameter. It has been proposed as the basis for a generalization, referred to as {\it nonextensive statistical mechanics}, of the $BG$ theory. $S_q$ shares with $S_{BG}$ four remarkable properties, namely {\it concavity} ($\forall q>0$), {\it Lesche-stability} ($\forall q>0$), {\it finiteness of the entropy production per unit time} ($q \in \Re$), and {\it additivity} (for at least a compact support of $q$ including $q=1$). The simultaneous validity of these properties suggests that $S_q$ is appropriate for bridging, at a macroscopic level, with classical thermodynamics itself. In the same natural way that exponential probability functions arise in the standard context,power-law tailed distributions, even with exponents {\it out} of the Lévy range, arise in the nonextensive framework. In this review, we intend to show that many processes of interest in economy, for which fat-tailed probability functions are empirically observed, can be described in terms of the statistical mechanisms that underly the nonextensive theory.

研究の動機と目的

• 長距離相関と肥大尾を示す異常経済系を記述するにあたり、ボルツマン＝ギブズ統計力学の限界を克服すること。
• 実証的金融時系列（株式取引量やリターンなど）に観察されるパワー則分布をモデル化するために、非拡張的$S_q$ エントロピー形式を適用すること。
• パrameterが変動する加法的・乗法的確率過程が、実際の金融データと整合する$q$-ガウス分布およびパワー則尾を有する分布を生成できることを示すこと。
• 非拡張統計力学とスーパーバランス統計（superstatistics）との関連を、特に変動する逆温度を通じて確立し、市場ダイナミクスをモデル化すること。
• より微視的モデルに根ざした、金融観測量のミクロスコピックレベルの記述を可能にする中間スケールの記述を提供すること。

提案手法

• 本稿では、$q \to 1$ の極限でボルツマン＝ギブズエントロピー $S_{BG}$ に一般化される非拡張エントロピー $S_q = k(1 - \sum p_i^q)/(1 - q)$ を用いる。
• 金融ダイナミクスは、加法的および乗法的ノイズを有する確率的ランジュバン方程式でモデル化される：$dv = -\gamma(v - \theta)\frac{1}{v}dt + \mu\sqrt{v}dW_1 + \alpha dW_2$。
• このランジュバン方程式から導かれるフォッカー＝プランク方程式により、定常確率密度関数 $P(v) \propto (v/\theta)^\alpha \exp_q(-v/\theta)$ が得られる。ここで $\exp_q$ は$q$-指数関数である。
• パrameter $\beta$ の変動を仮定することで、ガンマ分布を仮定し、$q = 1 + 1/(1 + \alpha + \delta)$ に関連する指数を持つパワー則尾が得られる。
• 逆温度 $\beta$ を変動する強度パラメータとして扱い、ベックとコーエンのアプローチに類似したスーパーバランス統計を統合する。
• ニューメリカルシミュレーションとNYSE 1分間取引量データへの実証的フィットにより、モデルが妥当性を示し、$q = 1.17$、$\alpha = 1.79$、$\delta = 3.09$、$\lambda = 1.42$ が得られた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非拡張統計力学と$S_q$ エントロピーを用いることで、金融時系列に観察される肥大尾分布を適切に記述できるか？
• RQ2 パrameterが変動する加法的・乗法的確率過程が、経済系におけるパワー則尾を有する分布をどのように生成するか？
• RQ3 変動する逆温度が、株式取引量とボラティリティのダイナミクスをモデル化する上で果たす役割は何か？
• RQ4 $q$-ガウス分布が、リターンや取引量といった金融観測量の普遍的モデルとしてどの程度有効であるか？
• RQ5 提案された枠組みは、既存のG/ARCHモデルやスーパーバランス統計と、金融市場行動を記述する上でどの程度整合するか？

主な発見

• モデルはNYSEの1分間取引量について、実証的パワー則尾を正確に再現でき、$q$-指数関数フィットにより $q = 1.17$ が得られた。
• 取引量ダイナミクスの定常分布は $P(v) \propto (v/\theta)^\alpha \exp_q(-v/\theta)$ として導出され、$q = 1 + 1/(1 + \alpha + \delta)$ により指数がシステムパラメータと関連づけられた。
• ランジュバン方程式の数値的シミュレーションは、実際の金融データと類似した間欠的バーストと持続的相関を再現し、モデルの現実性を裏付けた。
• この枠組みは、Lévy飛行ではなく、内部の乗法的ノイズと変動する温度によって肥大尾が生じることを説明でき、Lévy範囲外の指数を許容する。
• より微視的確率過程に根ざした中間スケールの金融ダイナミクス記述を提供し、第一原理的導出への橋渡しを可能にする。
• $\beta$ パラメータにガンマ分布を仮定したスーパーバランス統計の使用により、観察されたパワー則行動が成功裏に再現され、市場における非拡張性の物理的メカニズムを示唆した。