[論文レビュー] Power-law relaxation behavior of an initially localized state in the spin-1/2 Heisenberg chain

Tetsuo Deguchi, Pulak Ranjan Giri+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2015

Quantum many-body systems参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、形式的因子の行列式表現を用いて、スピン-1/2 ハイゼンベルク鎖における局所磁化の正確な時間発展を、初期に局所化された状態から出発して提示する。長時間にわたる局所磁化の二乗偏差のパワーロー則的緩和が示され、明確な緩和時間がないことを示唆している一方で、fideliy（忠実度）はボルツマン時間スケールで指数的に減少し、可積分系における局所演算子の普遍的なパワーロー則的減衰が示唆される。

ABSTRACT

We present power-law relaxation behavior of the local magnetizations in the equilibration dynamics of the spin-1/2 Heisenberg spin chain as an isolated integrable quantum system. We perform the exact time evolution of the expectation values of the local spin operators by evaluating them with the determinant formula of the form factors. We construct such an initial quantum state that has a localized profile of the local magnetizations, and perform the exact time evolution over a very long period of time. We show that the local magnetization relaxes as some power of the time variable with no definite time scale, while the fidelity relaxes very fast with its relaxation time being proportional to the inverse of the energy width, i.e. the Boltzmann time.

研究の動機と目的

• 孤立した可積分量子系における局所観測量の非平衡緩和ダイナミクスを調査すること。
• 局所磁化が平衡値に緩和するかどうか、およびその時間依存性を特定すること。
• 有限サイズかつ正確な設定下での一般化ギブス集団（GGE）予想の妥当性を検証すること。
• 相互作用を有する可積分系における局所演算子の緩和行動の普遍性を調査すること。

提案手法

• 代数的バーティー・アンザッツ枠組みにおける形式的因子の行列式表現を用いて、局所スピン演算子の正確な時間発展を計算する。
• 特にすべてのスピンオン状態を用いて、局所化された磁化プロファイルを持つ初期状態を構築する。
• 局所磁化の緩和ダイナミクスを観察するために、長時間スケールでの時間発展演算をシミュレートする。
• 局所磁化の空間平均からの二乗偏差を計算し、緩和行動を定量化する。
• 初期状態と時間発展演算状態との間の忠実度を評価し、緩和スケールを評価する。
• 二乗偏差の時間発展にパワーロー則フィットを適用し、減衰指数を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 孤立した可積分量子系における局所演算子の期待値は、時間の経過とともに定数値に緩和するか？
• RQ2 スピン-1/2 ハイゼンベルク鎖における局所磁化の緩和の関数的形態は何か？
• RQ3 局所観測量には特徴的な緩和時間があるのか、それともパワーロー則的減衰によって緩和が進行するのか？
• RQ4 緩和行動は、特に異なるスピンオン配置に対して初期量子状態に依存するか？
• RQ5 相互作用を有する可積分系における局所演算子のパワーロー則的緩和は、普遍的と見なせるか？

主な発見

• 局所磁化の二乗偏差は、時間の関数としてパワーロー則的減衰を示し、N=50 の場合の指数は約 0.68 および 0.89 である。
• N=30 の場合、初期には約 0.0289/t^1.02 の減衰が観測され、その後 0.0765/t^0.806 に遅い減衰に移行する。
• 忠実度の緩和はボルツマン時間スケールで進行し、エネルギー幅の逆数に比例する。
• 時間発展演算は二段階のプロセスを示す：初期に反対方向に伝播する波に分離し、その後衝突・統合されて一様に振動するプロファイルになる。
• 二乗偏差のパワーロー則的減衰は、明確な緩和時間がないことを示唆し、振幅が減衰する持続的振動を示唆する。
• 減衰指数は初期状態に依存し、特にイラスト状態では指数がほぼゼロに近く、緩和が遅いことが示される。