[論文レビュー] Power law violation of the area law in critical spin chains

Ramis Movassagh, Peter W. Shor|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2014

Quantum many-body systems被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、整数スピン-$s$鎖に対して、正確に解ける、並進不変で局所的なハミルトニアンの族を導入し、臨界的挙動を示すが、エンタングルメントエントロピーの面積則をべき則で破る。系のサイズ$n$に対して、$\sqrt{n}$のスケーリングを示す。モデルはフレストレーションフリーであり、一意な基底状態を持ち、エネルギー準位のギャップは$n^{-c}$（$c \geq 2$）のスケーリングを示し、コンformal field theoryの記述を排除する。

ABSTRACT

The sub-volume scaling of the entanglement entropy with the system's size, $n$, has been a subject of vigorous study in the last decade [1]. The area law provably holds for gapped one dimensional systems [2] and it was believed to be violated by at most a factor of $\log\left(n ight)$ in physically reasonable models such as critical systems. In this paper, we generalize the spin$-1$ model of Bravyi et al [3] to all integer spin-$s$ chains, whereby we introduce a class of exactly solvable models that are physical and exhibit signatures of criticality, yet violate the area law by a power law. The proposed Hamiltonian is local and translationally invariant in the bulk. We prove that it is frustration free and has a unique ground state. Moreover, we prove that the energy gap scales as $n^{-c}$, where using the theory of Brownian excursions, we prove $c\ge2$. This rules out the possibility of these models being described by a conformal field theory. We analytically show that the Schmidt rank grows exponentially with $n$ and that the half-chain entanglement entropy to the leading order scales as $\sqrt{n}$ (Eq. 16). Geometrically, the ground state is seen as a uniform superposition of all $s-$colored Motzkin walks. Lastly, we introduce an external field which allows us to remove the boundary terms yet retain the desired properties of the model. Our techniques for obtaining the asymptotic form of the entanglement entropy, the gap upper bound and the self-contained expositions of the combinatorial techniques, more akin to lattice paths, may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 局所的で並進不変なハミルトニアンを持つ物理的モデルとして、臨界的挙動を示すが面積則に違反するスピン鎖のクラスを構成すること。
• このような違反が対数的要因を越えて、具体的には系のサイズに対してべき則として、$\sqrt{n}$のスケーリングで生じうることを示すこと。
• モデルがフレストレーションフリーであり、一意な基底状態を持つことを証明し、エネルギーギャップのスケーリングを分析すること。
• 基底状態が$s$色のモツキンウォークの均一重ね合わせとして正確に記述できることを示し、幾何的解釈を提供すること。
• 境界項を除去する外部場を導入し、モデルの主要な物理的性質を保存すること。

提案手法

• Bravyiらのスピン-1モデルを一般化し、すべての整数スピン-$s$鎖に対して、局所的で並進不変なハミルトニアンを用いる。
• ブラウン運動の上昇に関する理論を用いて、ギャップ指数の下界を導出し、エネルギーギャップのスケーリングが$n^{-c}$である場合に$c \geq 2$であることを証明する。
• 基底状態を、制約付き格子パスとして特徴づけ、すべての$s$色のモツキンウォークの均一重ね合わせとして記述する。
• 格子パス理論からの組合せ的技法を適用し、スチュルムランクとエンタングルメントエントロピーの漸近的挙動を計算する。
• 外部場を導入し、境界項を変更するが、バルクの性質や基底状態の構造を変えることなく、モデルの性質を保存する。
• 自己完備的な組合せ的および解析的手法を用いて、エンタングルメントエントロピーのスケーリングを導出し、明示的な漸近的解析を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的で並進不変なハミルトニアンを持つ臨界的スピン鎖が、面積則を対数的要因を越えて、具体的には系のサイズに対してべき則で破る可能性はあるか？
• RQ2 このようなモデルにおけるエンタングルメントエントロピーの正確なスケーリングは何か？そして、組合せ的パスモデルを用いて解析的に導出可能か？
• RQ3 これらのモデルにおいてエネルギーギャップは系のサイズにどのように依存するか？これはその普遍性クラスにどのような含意を持つか？
• RQ4 基底状態は、$s$色のモツキンウォークのような制約付き格子パスの重ね合わせとして正確に記述可能か？
• RQ5 外部場を用いて境界効果を除去可能か？その際、モデルの臨界的および可解的性質を保存できるか？

主な発見

• 半鎖におけるエンタングルメントエントロピーは、$\sqrt{n}$のオーダーでスケーリングし、面積則のべき則による違反を示す。
• 基底状態のスチュルムランクは$n$とともに指数関数的に増加し、高いエンタングルメント複雑性を示す。
• エネルギーギャップは$n^{-c}$（$c \geq 2$）のスケーリングを示し、これはコンformal field theoryの記述を排除する。
• モデルはフレストレーションフリーであり、一意な基底状態を持つため、安定性と明確な低エネルギー物理を保証する。
• 基底状態は、すべての$s$色のモツキンウォークの均一重ね合わせとして正確に実現可能であり、幾何的および組合せ的特徴づけを提供する。
• 外部場を適用することで境界項を除去可能であり、モデルの臨界的および可解的性質を保存できる。