[論文レビュー] Power laws of the in-degree and out-degree distributions of complex networks

Shinji Tanimoto|ArXiv.org|Dec 15, 2009

Complex Network Analysis Techniques参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、優先的付加を介して既存ノード間の内側リンク（inner）と新規ノードへの外側リンク（outer）の形成を支配する2つのパラメータを持つ有向ネットワークモデルを提案する。このモデルにより、べき乗則に従うインデグリーディストリビューションとアウトデグリーディストリビューションが導出される。モデルは実際のネットワークで観測された指数を説明する：ワールドワイドウェブ（WWW）では内側リンクの割合が中間的（≈0.5）であり、引用ネットワークではほぼ内側リンクが存在しない（比率 ≈0）、電話通話ネットワークでは内側リンクが主である（比率 ≈1）。インデグリー指数γ_in ≈ 2.1–3.0およびアウトデグリー指数γ_out ≈ 2.1–2.7である。

ABSTRACT

A model for directed networks is proposed and power laws for their in-degree and/or out-degree distributions are derived from the model. It is based on the Barabasi-Albert model and contains two parameters. The parameters serve as regulatory factors for the contributions of new nodes through in- and out-degrees. The model allows a newly added link to connect directly two nodes already present in the network. Such a link is called an inner link, while a link attached to a new node is called an outer link. Using relationships between inner and outer links, we investigate power laws for in- and out-degree distributions of directed networks. This model enables us to predict some interesting features of directed networks; in particular, the World Wide Web and the networks of citation and phone-call.

研究の動機と目的

• 現実のシステムで観測されるべき乗則に従うインデグリーおよびアウトデグリー分布を説明する有向ネットワークモデルの開発を目的とする。
• オリジナルのBarabási-Albertモデルとは異なり、既存ノード間のリンク（内側リンク）と新規ノードへのリンク（外側リンク）の両方を組み込むこと。
• 内側リンクと外側リンクの比率がべき乗則の指数に与える影響を調査すること。
• ワールドワイドウェブ、引用ネットワーク、電話通話ネットワークといった実際のネットワークにモデルを適用し、その度数分布の特徴を予測・説明すること。
• 初期条件と優先的付加がインデグリーおよびアウトデグリー指数値に与える役割を明確にすること。

提案手法

• 新規リンクが既存ノード間に接続される内側リンクか、新規ノードに接続される外側リンクかを決定する2パラメータの有向ネットワークモデルを導入する。
• 優先的付加を用いる：リンクがノードに接続される確率は、そのノードのインデグリーまたはアウトデグリーに比例する。
• 度数の増加を記述する連続時間微分方程式を導出する。パラメータαとβはそれぞれ初期インデグリーおよびアウトデグリー寄与を制御する。
• 連続近似を適用して、指数γ_in = 2 + αおよびγ_out = 2 + βのべき乗則度数分布を導出する。
• α + β − 1を用いて内側リンクと外側リンクの比率を分析し、これと度数分布の指数およびネットワーク構造とを関連付ける。
• 理論的予測を、WWW、引用ネットワーク、電話通話ネットワークからの実データ（報告された指数値）と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向ネットワークにおける内側リンクと外側リンクは、インデグリーおよびアウトデグリーべき乗則分布の指数にどのように影響するか？
• RQ2 優先的付加は、有向ネットワークにおけるインデグリーおよびアウトデグリー分布の形状にどのような役割を果たすか？
• RQ3 なぜワールドワイドウェブ、引用ネットワーク、電話通話ネットワークは、それぞれ異なるべき乗則指数を示すインデグリーおよびアウトデグリー分布を示すのか？
• RQ4 内側リンクと外側リンクの比率は、現実の有向ネットワークにおける度数分布指数の差を説明できるか？
• RQ5 初期インデグリーおよびアウトデグリー条件（パラメータαとβでパrameter化）は、最終的な度数分布指数にどのように影響するか？

主な発見

• モデルは、インデグリー指数がγ_in = 2 + α、アウトデグリー指数がγ_out = 2 + βであると予測する。ここでαとβは初期度数寄与を反映するパラメータである。
• ワールドワイドウェブでは、内側リンクと外側リンクの比率は約0.5であり、実測値γ_in ≈ 2.1–2.4およびγ_out ≈ 2.4–2.7と整合的である。
• 引用ネットワークではほぼ内側リンクが存在しない（比率 ≈0）ため、γ_in ≈ 2.0–3.0およびγ_out ≈ 0（アウトデグリーべき乗則なし）となり、実データと整合的である。
• 電話通話ネットワークでは内側リンクが主である（比率 ≈1.0）ため、γ_in ≈ 2.1およびγ_out ≈ 2.1となり、実測観察と一致する。
• モデルは、WWWおよび引用ネットワークでγ_in ≈ 2.0となるのはα ≲ 1であるため、初期インデグリーが低いことによるものであると説明する。一方、WWWではγ_out > 2.0となるのはβ > 0.5であるため、内側リンクが外側リンクよりも多いことを示唆する。
• モデルは、β > 0.5のときγ_out < 3となることを示しており、これはWWWおよび電話通話ネットワークでは成立するが、引用ネットワークではβ ≈ 0のため成立しない。