[論文レビュー] Powerfree Values of Polynomials

D. R. Heath‐Brown|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$f(X) = X^d + c$ の形をした多項式が取りうる $k$-自由値の数について漸近公式を確立し、$k \geq (5d + 3)/9$ のとき $N_{f,k}(x) = C(f,k)x + O(x^{1 - \delta(d)})$ が成り立つことを証明している。これは、以前の境界と比較して顕著な改善である。この手法は、モービウス反転公式と指数和の推定、および行列式法を組み合わせており、素数の入力に対しても拡張され、同じ条件下で $f(p)$ が $k$-自由である確率的密度が漸近的に成立することが確認された。

ABSTRACT

For irreducible integer polynomials $f(n)=n^d+c$ we prove an asymptotic formula for the number of $k$-th power free values taken by $f(n)$, for $n$ running up to $x$, subject to the condition $k\ge (5d+3)/9$. This improves earlier results in which the condition was $k\ge (3d+1)/4$. We also show that one can handle $f(p)$ for prime arguments $p$, for the same range of $k$.

研究の動機と目的

• 整数上での不可約多項式 $f(X) = X^d + c$ が取りうる $k$-自由値の数について、漸近公式を確立すること。
• 以前の境界（例：$k \geq (3d+2)/4$）から、$k \geq (5d+3)/9$ への $k$-自由性の閾値を改善し、$d \geq 6$ のとき $k = d-2$ を可能にすること。
• 同じ $k$-閾値のもとで、素数入力における $k$-自由値、すなわち $f(p)$ についても漸近的結果を拡張すること。
• 強い誤差項、特に整数入力では $O(x^{1 - \delta(d)})$、素数入力では任意の固定された $A > 0$ に対して $O_A(x (\log x)^{-A})$ を提供すること。

提案手法

• モービウス反転を用いる：$N_{f,k}(x) = \sum_b \mu(b) N(b,x)$ で、$N(b,x)$ は $b^k \mid f(n)$ を満たす $n \leq x$ の個数を数える。
• シーゲル＝ウォルフィッツの定理を適用し、$\gcd(b, \text{disc}(f)) = 1$ などの互いに素条件のもとで、$b^k \mid f(p)$ を満たす素数 $p \leq x$ の個数 $N'(b,x)$ を推定する。
• 行列式法を用いて、$f(n) \equiv 0 \pmod{b^k}$ を満たす解に関する指数和を扱い、特に $b$ が二重範囲に属する場合に注目する。
• 二重分割と除数関数の推定を実行し、関連する解の個数を抑え、$O_{\varepsilon}(N^{\varepsilon})$ 型の誤差項に到達する。
• 関数 $\rho(t) = \frac{j}{4d}(1 + \frac{d - kt}{j} + t)^2$ 及びその導関数を分析し、誤差項の収束条件を検証する。
• $(5d + 3)/9$ の条件下で、$Q(t)$ と $\rho(t)$ の境界を用いて、誤差項が $O(N^{1 - \eta})$（十分に小さい $\eta > 0$）であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的条件を満たす前提のもとで、多項式 $f(X) = X^d + c$ が無限に多くの $k$-自由値を取り得る $k$ はどの範囲か？
• RQ2 多項式 $f(X) = X^d + c$ に対して、漸近公式 $N_{f,k}(x) = C(f,k)x + O(x^{1 - \delta(d)})$ が成り立つための閾値 $k \geq (5d + 3)/9$ を確立できるか？
• RQ3 同じ $k$-閾値のもとで、素数入力における $f(p)$ が $k$-自由であるという漸近的密度の結果は成立するか？
• RQ4 $f(n)$ および $f(p)$ の $k$-自由値の個数の最良誤差項は何か？また、対数スケールで任意に小さくできるか？
• RQ5 行列式法を効果的に応用することで、$X^d + c$ に対して $k$-自由性が漸近的に保証される $k$ の範囲をさらに精緻化できるか？

主な発見

• 多項式 $f(X) = X^d + c$ に対して、$k \geq (5d + 3)/9$ のとき、漸近公式 $N_{f,k}(x) = C(f,k)x + O(x^{1 - \delta(d)})$ が成り立つ。ここで $\delta(d) > 0$ は $d$ に依存する。
• この結果により、$d \geq 6$ のとき $k = d - 2$ を実現でき、以前の境界が $d \geq 10$ または $d \geq 24$ を要していたのと比較して顕著な改善がなされた。
• 素数入力の場合、$k \geq (5d + 3)/9$ の条件下で、漸近的公式 $N'_{f,k}(x) = C'(f,k)\pi(x) + O_A(x (\log x)^{-A})$ が任意の $A > 0$ に対して成り立つ。
• この結果は $k = d - 1$ に対しても $d \geq 3$ 全体に拡張され、エラトステネスとフーリーが $k = d - 1$ の場合に残した未解決事項を解決した。
• 素数の場合の誤差項は $O_A(x (\log x)^{-A})$ のオーダーであり、任意のべき乗の改善よりも強く、任意の固定された $A > 0$ に対して有効である。
• 証明により、行列式法と除数関数の推定を用いた誤差項解析の収束には、$k \geq (5d + 3)/9$ が必要かつ十分であることが示された。