[論文レビュー] Powerful $p$-groups have noninner automorphisms of order $p$ and some cohomology

Aliréza Abdollahi|ArXiv.org|Jan 21, 2009

Finite Group Theory Research参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$G/Z(G)$ が強力な有限非アーベル $p$-群 $G$ が、$\Phi(G)$ または $\Omega_1(Z(G))$ の元をすべて固定する位数 $p$ の非内部自己同型をもつことを証明している。コホモロジー的技法、特にテートコホモロジーを用いて、$G/N$ が巡回でない場合、$p > 2$ ならばすべての $n \geq 0$ に対して $H^n(G/N, Z(N)) \not= 0$ であることを示し、これは第一コホモロジーが非自明であることに基づくコホモロジー的基準を通じて、このような自己同型の存在を示している。この結果は、$p$-中心的およびクラス 2 の冪等群に関する先行研究を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we study the longstanding conjecture of whether there exists a noninner automorphism of order $p$ for a finite non-abelian $p$-group. We prove that if $G$ is a finite non-abelian $p$-group such that $G/Z(G)$ is powerful then $G$ has a noninner automorphism of order $p$ leaving either $Φ(G)$ or $Ω_1(Z(G))$ elementwise fixed. We also recall a connection between the conjecture and a cohomological problem and we give an alternative proof of the latter result for odd $p$, by showing that the Tate cohomology $H^n(G/N,Z(N)) ot=0$ for all $n\geq 0$, where $G$ is a finite $p$-group, $p$ is odd, $G/Z(G)$ is $p$-central (i.e., elements of order $p$ are central) and $N\lhd G$ with $G/N$ non-cyclic.

研究の動機と目的

• $p > 2$ のとき、任意の有限非アーベル $p$-群が位数 $p$ の非内部自己同型をもつという長年の予想を解決すること。
• 非自明なテートコホモロジー $H^n(G/N, Z(N))$ と位数 $p$ の非内部自己同型の存在を結びつけるコホモロジー的基準を確立すること。
• もし $G/Z(G)$ が強力または $p$-中心的であれば、$G$ は $\Phi(G)$ もしくは $\Omega_1(Z(G))$ のすべての元を固定する位数 $p$ の非内部自己同型をもつことを証明すること。
• 特に奇数 $p$ に対して、特定の $p$-群におけるテートコホモロジーの非消滅について、代替的なコホモロジー的証明を提供すること。

提案手法

• 位数 $p$ の自己同型を分析するために、$p$-群の $H^n(G/N, Z(N))$ にテートコホモロジーを用いる。特に、すべての $n \geq 0$ に対して非自明であることを焦点とする。
• コホモロジー的に自明な加群に関するガシュッツと内田の定理を応用し、問題を固定点条件に還元する。
• 交差ホモーモルフィズム $Z^1(G/N, Z(N))$ と $C_{\text{Aut}(G)}(N; G/N)$ に属する自己同型との同型を活用し、コホモロジーと自己同型構造を結びつける。
• 次元シフトと $A_{H/N} = A^{\tau_{H/N}}$ を用いた固定点解析により、コホモロジーが自明であるという仮定のもとで矛盾を導く。
• 補題 3.7 を用いて、$G/Z(G)$ が $p$-中心的で $p > 2$ のとき、$Z^1(G/\Phi(G), Z(\Phi(G)))$ が初等アーベル $p$-群であることを示す。
• 背理法による証明：$H^n(G/N, Z(N)) = 0$ を仮定すると、$G/N$ は位数 $p$ の唯一の部分群を持つことになり、これは $G/N$ が巡回または一般化ハミルトン群であることを意味する。これは非巡回性の仮定に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G/Z(G)$ が強力な有限非アーベル $p$-群 $G$ は、すべての $p$-群に対して位数 $p$ の非内部自己同型をもつか？
• RQ2 位数 $p$ の非内部自己同型の存在を保証するコホモロジー的条件は何か？
• RQ3 どの正規部分群 $N \lhd G$ に対して、すべての $n \geq 0$ で $H^n(G/N, Z(N)) \not= 0$ が成り立つか？
• RQ4 テートコホモロジー $H^1(G/N, Z(N))$ の非消滅は、位数 $p$ の非内部自己同型の存在を示すために用いることができるか？
• RQ5 $G/N$ が非巡回であるとき、$G$ と $N$ にどのような条件下で $H^n(G/N, Z(N)) \not= 0$ がすべての $n \geq 0$ で成り立つか？

主な発見

• $G$ が $G/Z(G)$ が強力な有限非アーベル $p$-群であれば、$\Phi(G)$ または $\Omega_1(Z(G))$ のすべての元を固定する位数 $p$ の非内部自己同型をもつ。
• 奇数 $p$ に対して、$G/Z(G)$ が $p$-中心的であるか、$G$ がクラス 2 以下の冪等群であれば、すべての非巡回商 $G/N$ に対して、すべての $n \geq 0$ で $H^n(G/N, Z(N)) \not= 0$ である。
• テートコホモロジー $H^1(G/N, Z(N)) \not= 0$ であれば、$C_G(N) = Z(N)$ を満たす限り、命題 1.4 を用いて位数 $p$ の非内部自己同型の存在が示される。
• $p > 2$ の場合、$H^n(G/N, Z(N))$ の非消滅について、補題 3.7 を用いて $Z^1(G/\Phi(G), Z(\Phi(G)))$ が初等アーベル $p$-群であることを示す、代替的なコホモロジー的証明が与えられる。
• 証明により、$H^n(G/N, Z(N)) = 0$ となる $n$ が存在するならば、$G/N$ は巡回または一般化ハミルトン群でなければならないことが示され、非巡回性の仮定に反する。
• $p > 2$ の場合、$H^1(G/\Phi(G), Z(\Phi(G)))$ の非消滅と交差ホモーモルフィズムの構造を用いて、$\Phi(G)$ を固定する位数 $p$ の非内部自己同型の存在が確立される。