[論文レビュー] Powers in finite groups

Dan Segal, Nikolay Nikolov|ArXiv.org|Sep 25, 2009

Finite Group Theory Research参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、任意のd個の生成元を持つ有限群において、q乗で生成される語的部分群G^qの任意の元が、f(d,q)個以下のq乗の積として表現可能であることを確立している。ここでf(d,q)はdとqにのみ依存する。このことは、G^qが有限生成のプロファイント群において開部分群であることを示し、制限付きバーンサイド問題の解法を拡張し、q乗語的部分群が有限幅をもち、このような群において閉じていることを確認する。

ABSTRACT

In this note we prove that if $G$ is a finitely generated profinite group then the verbal subgroup $G^{q}$ is open. Equivalently in a $d$-generator finite group every product of $q$th powers is a product of $f(d,q)$ $q$th powers.

研究の動機と目的

• d生成有限群におけるG^qの任意の元を生成するのに必要なq乗の数の均一な上限f(d,q)を確立すること。
• 語的部分群G^qが任意の有限生成のプロファイント群において開であることを証明し、制限付きバーンサイド問題の解法を拡張すること。
• 特に累乗語x^qに対して、語的部分群がプロファイント群において閉であるという以前の結果を一般化すること。
• 語x^qが任意のdに対してd-制限可能であることを示し、語的部分群がプロファイント群において有限幅かつ閉じていることを示すこと。

提案手法

• 有限単純群の分類と制限付きバーンサイド問題の解法を基礎的道具として用いる。
• 文献[NS]の命題1を適用し、Alt(k)を含む部分群においてG^qの幅をh(k,d,q)で上から抑え、幅の上限を求める。
• 命題2を用いて、大きな単純な商を持つ完全な正規部分群Nの構造を制御し、G_q^*mが小さな部分群を除いてNを生成することを示す。
• G = H^qにおける特徴的系列K1 ≥ K3 ≥ K4 ≥ K5を構成し、K5が許容可能であることを保証することで、キーテーマ（命題4）を適用し、K5を交換子とq乗の積として上から抑えられるようにする。
• 命題1、命題2、およびキーテーマの結果を組み合わせ、H^qの幅に対する均一な上限f(d,q)をdとqの関数として導出する。
• シュライエルの公式と、d生成の制限付きバーンサイド群の位数を表すβ(d,q)の上限を用いて、H^qの生成元の数を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群において、生成元の数dと指数qの関数として、語的部分群G^qの幅を一様に有界化できるか？
• RQ2 語的部分群G^qは任意の有限生成のプロファイント群において開であり、かつこれは有限商におけるG^qの有限幅から従うか？
• RQ3 有限d生成群におけるG^qの有限幅という性質が、G^qがプロファイント完備化において閉じていることを示唆するか？
• RQ4 この結果を交換子でない語wへと拡張でき、w(G)が有限生成のプロファイント群において開であることを示せるか？

主な発見

• 任意のd, q ∈ ℕに対して、f(d,q)が存在し、d生成有限群GにおけるG^qの任意の元が、f(d,q)個以下のq乗の積として表現可能である。
• 語的部分群G^qは任意の有限生成のプロファイント群Gにおいて閉であり、したがって開である。これは有限商における有限幅の結果に起因する。
• この結果により、語x^qは任意のdに対してd-制限可能であることが示され、任意のd生成プロファイント群においてw(G)が有限幅かつ閉じていることを意味する。
• f(d,q)の上限は、制限付きバーンサイド問題、有限単純群の分類、G^qの許容可能部分群への構造的分解を組み合わせて構成される。
• G^qを生成するのに必要なq乗の数は、δ(d,q) = d·β(d,q)·f(d,q)で抑えられる。ここでβ(d,q)は、指数qのd生成の制限付きバーンサイド群の位数を表す。
• 証明はキーテーマ（命題4）に依存しており、これは許容可能な正規部分群K5を、dとqにのみ依存する指数を持つ交換子とq乗の積として表現する。