[論文レビュー] Powers of a matrix and combinatorial identities

James McLaughlin, B. Sury|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2018

graph theory and CDMA systems被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$k$ 個の変数における一般化された多項式恒等式を導出し、$k \times k$ 行列の各成分の冪乗に対する閉形式の表現を、その初等対称多項式（トレース、行列式など）を用いて可能にする。この手法は、再帰的行列恒等式と対称関数論を活用し、一般化されたビネットの公式やトゥエ方程式の解法を含む、新たな組合せ的恒等式を導出する。

ABSTRACT

In this article we obtain a general polynomial identity in $k$ variables, where $k\geq 2$ is an arbitrary positive integer. We use this identity to give a closed-form expression for the entries of the powers of a $k imes k$ matrix. Finally, we use these results to derive various combinatorial identities.

研究の動機と目的

• 対称多項式を用いて、$k=2$ の場合に既知の多項式恒等式を任意の $k \geq 2$ に一般化すること。
• 任意の $k \times k$ 行列 $A$ について、その固有値および初等対称関数を用いて $A^n$ の成分の閉形式表現を提供すること。
• 行列冪の公式から新たな組合せ的恒等式を導出し、ビネットの公式のような結果を拡張すること。
• ある整数値をとる和の零点と、三次トゥエ方程式の解との関係を明らかにし、ベルンシュタインの結果を回復すること。

提案手法

• 変数 $x_1,\dots,x_k$ の累乗和 $\sum x_1^{r_1}\cdots x_k^{r_k}$ を、初等対称多項式 $s_1, \dots, s_k$ の単項式の和として表す多変数多項式恒等式を導出する。
• 対称冪和への寄与を重みづけるための係数 $c(i_2,\dots,i_k,n)$ を導入し、多項係数を含む。
• 行列の冪にこの恒等式を適用する際、$A^n$ が $A$ の特性多項式に基づく線形再帰を満たすことを示す。
• 数学的帰納法と再帰 $a(n) = s_1 a(n-1) - s_2 a(n-2) + \cdots + (-1)^{k-1} s_k a(n-k)$ を用い、$A^n$ を $I, A, \dots, A^{k-1}$ の線形結合として表現する。
• 行列 $A$ を特定の形に制限し、例えば $(1,2)$ 成分などの特定の成分を抽出し、変数 $x,y,z$ の有理関数として等式を立てる。
• 行列冪の公式を活用し、行列成分に特定の値を代入して両辺を比較することで、恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k$ 個の変数に対して、累乗和および対称多項式を用いて初等対称和を表す一般化された多項式恒等式を構築できるか？
• RQ2 このような恒等式を用いて、$k \times k$ 行列 $A$ の $A^n$ 成分の閉形式表現をどのように導出できるか？
• RQ3 行列冪の公式を特定の行列やパrameter選択に特化することで、どのような組合せ的恒等式が導かれるか？
• RQ4 行列再帰を用いた代数的数論的手法により、関数 $f(n) = \sum_j (-1)^j \binom{n-2j}{j}$ の零点を特徴づけられるか？
• RQ5 行列冪の再帰構造と三次トゥエ方程式の解との間にどのような関係があるか？

主な発見

• 本稿では、$\sum_{r_1+\cdots+r_k=n} x_1^{r_1}\cdots x_k^{r_k}$ について、多項係数を含む初等対称多項式 $s_1, \dots, s_k$ の和としての一般恒等式を確立した。
• 任意の $k \times k$ 行列 $A$ に対して、$n$ 乗 $A^n$ は、固有値の初等対称多項式に依存する係数を用いて、$I, A, \dots, A^{k-1}$ の線形結合として表現される。
• 再帰における係数 $a(n)$ は、$a(n) = \sum c(i_2,\dots,i_k,n) s_1^{n-\cdots} (-s_2)^{i_2} \cdots ((-1)^{k-1}s_k)^{i_k}$ で明示的に与えられ、ここで $c$ は多項係数である。
• $k=3$ の場合、恒等式により、和 $\sum_{2i+3j\leq n} (-1)^i \binom{i+j}{j} \binom{n-i-2j}{i+j} (x+y+z)^{n-2i-3j} (xy+yz+zx)^i (xyz)^j$ の有理関数表現が得られる。
• 行列 $A$ を特化することで、恒等式 $\sum_{2i+3j\leq n} (-1)^i \binom{i+j}{j} \binom{n-i-2j}{i+j} (\theta+t)^{n-2i-3j} (\theta t + d)^i (\theta d)^j = a_n$ が導かれ、新たな組合せ的恒等式が得られる。
• $f(n) = \sum_j (-1)^j \binom{n-2j}{j}$ の零点は、方程式 $x^3 + y^3 - x y^2 = 1$ の解に対応し、$n=3$ および $n=12$ のみに限ることが示された。