[論文レビュー] Powers of two weighted sum of the first p divided Bernoulli numbers modulo p

Claire Levaillant|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2020

Advanced Mathematical Identities参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、素数 $p$ を法とする重み付き分割ベルヌーイ数の和 $\sum_{k=1}^{p-2} \frac{\mathcal{B}_k}{2^k}$ が、アゴ・ギウア商と $p-2$ 個の要素に対する偶数上昇順列の個数に結びつく新しい合同式を確立する。$p$-進解析と第一種スターリング数を用いて、調和和およびオイラー数に関連する明示的な $p$-進展開と合同式を導出し、ウィーファーイヒュープライムおよびフェルマー商 $q_p(2)$ を割り切る素数の組み合わせ的特徴付けを提供する。

ABSTRACT

We show that, modulo some odd prime p, the powers of two weighted sum of the first p-2 divided Bernoulli numbers equals the Agoh-Giuga quotient plus twice the number of permutations on p-2 letters with an even number of ascents and distinct from the identity. We provide a combinatorial characterization of Wieferich primes, as well as of primes p for which p^2 divides the Fermat quotient q_p(2).

研究の動機と目的

• 素数 $p$ を法とする $p$-進重み付き和 $\sum_{k=1}^{p-2} \frac{\mathcal{B}_k}{2^k}$ の合同式を導出すること、ここで $\mathcal{B}_k = B_k/k$ は分割ベルヌーイ数である。
• この和をアゴ・ギウア商および $p-2$ 個の要素に対する偶数上昇順列の個数に結びつけること、恒等写像とは異なる。
• フェルマー商 $q_p(2) = (2^{p-1} - 1)/p$ の $p^2$ による割り切りを満たす素数 $p$ およびウィーファーイヒュープライムの組み合わせ的特徴付けを提供すること。
• 調和数を含む一般化された和へと結果を拡張し、$p$-進展開を用いてウォルステンホルム素数と関連付けること。

提案手法

• 第一種スターリング数の符号なし定義を2通り用いて、$p!$ および $(p+1)!$ を $p^2$ を法として扱う恒等式を導出する。これには、巡回的解釈と多項式係数解釈を活用する。
• 多項式 $x(x-1)\cdots(x-p+1)$ を $x = -2$ で評価することで、階乗とスターリング数を結ぶ重要な恒等式を導出する。
• フォン・スタウト＝クローゼンの定理およびエマ・レーマーの結果を用いて、ベルヌーイ数の $p$-進性質と重み付き和との関係を確立する。
• 整数のべき和の $p^2$ を法とする合同式を、ベルヌーイ数およびオイラー和に結びつけることで導出する。
• フェルマー商 $q_p(2)$ のアイゼンシュタインの公式と調和数の恒等式を用いて、交代和およびオイラー数を含む新しい合同式を導出する。
• 多項式 $X^{p-1} + (p-1)!$ の $\mathbb{Z}_p[X]$ における $p$-進因数分解を構成し、根と係数を $q_p(2)$ および組み合わせ的個数 $w_p$ に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き和 $\sum_{k=1}^{p-2} \frac{\mathcal{B}_k}{2^k}$ を $p$ を法として、既知の算術的不変量および組み合わせ的対象でどのように表現できるか？
• RQ2 フェルマー商 $q_p(2)$ と $p-2$ 個の要素に対する偶数上昇順列の個数との間の明確な $p$-進関係は何か？
• RQ3 $p^2$ が $q_p(2)$ を割り切る条件は何か、そしてオイラー数を用いた組み合わせ的特徴付けはどのように行えるか？
• RQ4 ベルヌーイ数、調和数、オイラー数を含む和の $p$-進展開どうしがどのように関係し合うか？
• RQ5 $\mathbb{Z}_p[X]$ における多項式 $X^{p-1} + (p-1)!$ を用いて、$q_p(2) + w_p$ が $p$ を法として 0 になる条件を特徴づけられるか？

主な発見

• 和 $\sum_{k=1}^{p-2} \frac{\mathcal{B}_k}{2^k}$ を $p$ を法として表すと、アゴ・ギウア商に加えて、恒等写像を除く $p-2$ 個の要素に対する偶数上昇順列の個数の2倍に等しい。
• フェルマー商 $q_p(2)$ を $p$ を法として表すと、$2w_p + 1$ に合同であり、ここで $w_p$ は $p-2$ 個の要素に対する偶数上昇順列の個数（恒等写像を除く）である。
• 合同式 $\sum_{k=1}^{p-2} \frac{\mathcal{B}_k}{2^k} \equiv 0 \pmod{p}$ が成り立つのは、$q_p(2) \equiv -w_p \pmod{p}$ のときに限る。このことは、和とフェルマー商との間の関係を示している。
• 多項式 $X^{p-1} + (p-1)!$ は $\mathbb{Z}_p[X]$ において $p$-進根の積として因数分解可能であり、根 $X=2$ における第二 $p$-進桁の消失は、合同式 $q_p(2) + w_p \equiv 0 \pmod{p}$ と同値である。
• 一般の $k$ について $3 \leq k \leq p-1$ が成り立つとき、和 $\sum_{l=1}^{p-2} \frac{B_l}{l k^l} \equiv 0 \pmod{p}$ が成り立つのは、$q_p(k) \equiv -w_p \pmod{p}$ のときに限る。これは、他の基数へと結果を一般化する。
• 結果は既知の調和和の合同式と整合しており、本稿はこのような和のさらなる研究がウィルソン素数およびスーパー・ウィーファーイヒュープライムの存在に関する洞察をもたらす可能性を示唆している。