[論文レビュー] Practical optimization for hybrid quantum-classical algorithms

Gian Giacomo Guerreschi, Mikhail Smelyanskiy|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 102

ひとこと要約

この論文は、有界精度と最適化手法の選択が変分ハイブリッド量子古典アルゴリズムの性能に与える影響を分析し、準ニュートン法を導入し、それを QAOA に具体的なコスト推定とともに適用する。

ABSTRACT

A novel class of hybrid quantum-classical algorithms based on the variational approach have recently emerged from separate proposals addressing, for example, quantum chemistry and combinatorial problems. These algorithms provide an approximate solution to the problem at hand by encoding it in the state of a quantum computer. The operations used to prepare the state are not a priori fixed but, quite the opposite, are subjected to a classical optimization procedure that modifies the quantum gates and improves the quality of the approximate solution. While the quantum hardware determines the size of the problem and what states are achievable (limited, respectively, by the number of qubits and by the kind and number of possible quantum gates), it is the classical optimization procedure that determines the way in which the quantum states are explored and whether the best available solution is actually reached. In addition, the quantities required in the optimization, for example the objective function itself, have to be estimated with finite precision in any experimental implementation. While it is desirable to have very precise estimates, this comes at the cost of repeating the state preparation and measurement multiple times. Here we analyze the competing requirements of high precision and low number of repetitions and study how the overall performance of the variational algorithm is affected by the precision level and the choice of the optimization method. Finally, this study introduces quasi-Newton optimization methods in the general context of hybrid variational algorithms and presents quantitative results for the Quantum Approximate Optimization Algorithm.

研究の動機と目的

• 古典オプティマが量子ゲートパラメータを調整するハイブリッド量子古典アルゴリズムを動機づけ、特徴づける
• 目的関数評価および勾配の有限精度が反復コストと最適化性能に与える影響を定量化する
• この文脈で準ニュートン最適化手法を導入し、勾配ベースと導関数不要法を比較する
• QAOA内の効率的なパラメータ更新のための解析的および有限差分勾配公式を提供する
• MAX-CUT に対する Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) でフレームワークを実証し、実用的影響を論じる

提案手法

• 状態準備、測定、そして古典的最適化を含むハイブリッドアルゴリズム構造を説明する
• 目的を observable C として表現し、Pauli 項の線形結合による測定を用いる
• F_p(γ)を精度ε、勾配を精度ε′で推定するために必要な反復コストMを定量化する
• 目的関数の有限差分および解析的勾配評価を、誤差項を含めて提示する
• 回路ベースの推定量を用いて、QAOAのγ型およびβ型パラメータの勾配成分を導出する
• 準ニュートン（BFGS）最適化を適用し、有限精度下で導関数不要法の Nelder-Mead と比較する
• ランダム3正則グラフ上の MAX-CUT に適用された QAOA アルゴリズムに対して、式とコストを特化する

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限精度と測定の反復回数が、ハイブリッド量子古典アルゴリズムにおける勾配ベース最適化の効率にどう影響するか？
• RQ2 この設定における有限差分勾配評価と解析勾配評価の相対的なコストと利点は何か？
• RQ3 準ニュートン法は、変分量子回路において導関数不要法より実用的な利点を提供できるか？
• RQ4 QAOA の性能（目的値の観点で）は、p や MAX-CUT のようなランダムグラフ上の問題インスタンスでどのようにスケールするか？
• RQ5 QAOA における勾配と目的評価を得るための具体的な反復コスト推定は何か？

主な発見

• 正確な勾配情報が得られる場合、有限精度の制約下で勾配ベース最適化は導関数不要法を上回ることがある
• 解析勾配公式は回路ベースの測定を用いた効率的な推定を可能にし、反復コストを削減できる
• 有限差分勾配推定はδとε′に依存する追加の反復コストを導入し、全体の最適化効率に影響を与える
• 勾配推定の精度の下限（ε′ ≥ (1/10)ε）が勾配推定コストの爆発を防ぐ
• ランダム3正則グラフ上の MAX-CUT に対する QAOA の適用は、フレームワークの適用性を示し、初期化の考慮点を浮き彫りにする
• 数値実験は、精度と初期条件が得られた解の質と観測された反復コストにどう影響するかを示す