[論文レビュー] Practical Realization of Bessel's Correction for a Bias-Free Estimation of the Auto-Covariance and the Cross-Covariance Functions

Holger Nobach|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2023

Fault Detection and Control Systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、平均が同じデータセットから推定される場合の自己共分散および相互共分散推定量に対するバイアスを補正する実用的な手法を提示する。この手法は、重み付きで重複するデータセグメントを用い、逆正規化行列を介してバイアス補正推定量を導出することで、相関のあるデータに対しても正確な分散および共分散推定が可能になる。閉形式の解とオープンソースコードが提供されている。

ABSTRACT

To derive the auto-covariance function from a sampled and time-limited signal or the cross-covariance function from two such signals, the mean values must be estimated and removed from the signals. If no a priori information about the correct mean values is available and the mean values must be derived from the time series themselves, the estimates will be biased. For the estimation of the variance from independent data the appropriate correction is widely known as Bessel's correction. Similar corrections for the auto-covariance and for the cross-covariance functions are shown here, including individual weighting of the samples. The corrected estimates then can be used to correct also the variance estimate in the case of correlated data. The programs used here are available online at http://sigproc.nambis.de/programs.

研究の動機と目的

• 平均が同じ有限なデータセットから推定される場合に生じる自己共分散および相互共分散推定量のバイアスを是正すること。
• 分散推定に一般的に用いられるベッセルの補正を、相関のあるデータ条件下での共分散関数推定に拡張すること。
• 重み付きデータと重複セグメントを用いた、バイアスフリーな共分散推定のための実用的で計算可能な手法を提供すること。
• 相関のあるデータが存在する状況でも、共分散推定量の補正により正確な分散推定を可能にすること。
• 実世界のデータ分析に適した、完全でオープンソースの実装を提供すること。

提案手法

• 重み付き自己および相互共分散の和を用いて、推定された平均の分散をモデル化することで、サンプルベース共分散推定のバイアスを導出する。
• 重複するデータセグメントと変動する重みに基づき、真の共分散関数から推定値の期待値へのマッピングを実現する正規化行列を導入する。
• この正規化行列の逆行列を用いて、原始的な共分散推定値を補正し、バイアスフリーな推定量を導出する。
• 両側対称な定式化を用いて、自己共分散および相互共分散関数の両方に対して高速フーリエ変換（FFT）の加速を可能にする。
• 重み付きで相関のあるデータに対する一般化されたベッセル補正を含む、バイアス補正推定量の閉形式表現を導出する。
• 個々のサンプル重みと可変長の信号ペアをサポートするコードとして完全な実装を提供。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均が同じデータから推定される場合に、分散から拡張されたベッセルの補正を自己共分散および相互共分散推定にどのように拡張できるか。
• RQ2 相関のあるデータ下で、サンプルベースの平均減算に起因する共分散推定量のバイアスの解析的表現は何か。
• RQ3 非一様なサンプリングまたは無効な点を含む重み付きデータを、バイアス補正共分散推定フレームワークでどのように処理できるか。
• RQ4 対称的で両側の共分散関数を用いることで、FFTベースの方法を効率的にバイアス補正に適用できるか。
• RQ5 データ相関が存在する状況において、補正済み共分散推定量とバイアスフリーな分散推定値との関係は何か。

主な発見

• 平均推定に起因する標本分散推定のバイアスは、正確に平均推定子の分散に等しく、これは真の自己共分散関数とサンプル重みに基づいて導出される。
• バイアス補正分散推定量は $ \hat{s}^2 = s^2 + \sigma_{\bar{x}}^2 $ として導出され、ここで $ \sigma_{\bar{x}}^2 $ は平均の推定分散であり、真の分散が不明な場合でも閉形式の補正が可能になる。
• 非相関で一様重みのデータの場合、この手法は古典的なベッセルの補正に帰着する：$ \hat{s}^2 = \frac{1}{N-1}\sum \tilde{x}_i^2 $、これにより従来の実践と整合性が確認される。
• 正規化行列のアプローチを用いて、バイアス補正自己共分散および相互共分散推定量が導出され、この行列の逆行列が原始推定値の補正に用いられる。
• この手法は個々のサンプル重みをサポートし、重複セグメントの正規化を用いて可変長の信号ペアを処理でき、不規則な点を含む実世界のデータにおいても頑健な推定を可能にする。
• 著者らは、2020年および2021年の更新を経て、http://sigproc.nambis.de/programs で動作する実装を提供しており、実用性が保証されている。