[論文レビュー] Practical Stability Analysis of a Drilling Pipe under Friction with a PI-Controller

Matthieu Barreau, Frédéric Gouaisbaut+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2019

Drilling and Well Engineering被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、摩擦を伴うドリルパイプ系に対するPI制御を用いた実用的な安定性解析を提示する。システムは無限次元のODE/PDE結合系としてモデル化される。Riemann座標射影に基づく新規なリャプノフ汎関数と線形行列不等式（LMIs）を活用することで、線形化系に対して指数的安定性を確立し、非線形系に対しては実用的安定性を証明する。その結果、PI制御は平衡点を安定化できるものの、スティックスリップ振動を抑制できないことが示された。

ABSTRACT

This paper deals with the exponential stability of a drilling pipe controlled by a PI controller. The model used leads to a coupled ODE / PDE and is consequently of infinite dimension. Using recent advances in time-delay systems, we derive a new Lyapunov functional based on an state extension made up of projections of the Riemann coordinates. Two cases will be considered. First, we will provide an exponential stability result expressed using the LMI framework. This result is dedicated to a linear version of the torsional dynamic. On a second hand, the nonlinear terms in the initial model, that generates the well-known stick-slip phenomenon is captured through a new stability theorem. Numerical simulations show the effectiveness of the method and that the stick-slip oscillations cannot be weaken using a PI controller.

研究の動機と目的

• 摩擦を伴うドリルパイプ系の安定性をPI制御を用いて分析すること。
• ドリル動力学における無限次元モデル化の課題に対処すること。
• 結合されたODE/PDE系に適用可能なリャプノフベースの安定性解析手法を開発すること。
• PI制御がスティックスリップ振動を緩和する効果を評価すること。
• 摩擦を伴う非線形系に対する実用的安定性バウンドを提供すること。

提案手法

• ドリルパイプのねじり振動を表すために、結合ODE/PDEモデルを用いる。
• Riemann座標の射影をルジャンドル多項式基底に投影することで、状態拡張を実施する。
• 最近の時遅れ系における進展を基にした、新規なリャプノフ汎関数を構築する。
• 線形行列不等式（LMIs）を用いて、線形化系の指数的安定性条件を導出する。
• 不変集合推定を用いた実用的安定性定理を活用し、非線形系への分析を拡張する。
• ベッセルに類似した積分不等式と、射影に基づく状態表現を用いて、安定性の検証を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PI制御は、摩擦を伴うドリルパイプの無限次元線形化モデルに対して指数的安定性を保証できるか？
• RQ2 提案されたリャプノフ汎関数フレームワークは、結合ODE/PDE系に対する有効な安定性解析を可能にするか？
• RQ3 PI制御は、非線形ドリルパイプ系におけるスティックスリップ振動をどの程度抑制できるか？
• RQ4 PI制御下での非線形系における実用的安定性バウンドは何か？
• RQ5 制御ゲイン（kp, ki）は、スティックスリップ振動の振幅にどのように影響するか？

主な発見

• LMIsベースの手法により、減衰率の推定を伴って、線形化ドリルパイプ系に対して指数的安定性が保証された。
• 非線形系においては、実用的安定性が証明され、振動のバウンドが得られた。Xboundは、kiが0.5から16に増加するにつれ、25から43に増加した。
• 数値シミュレーションにより、PI制御が平衡点を安定化させても、スティックスリップ振動が持続し、弱体化しないことが確認された。
• 最小のXbound（振動バウンド）は極めて低いkp値で発生し、kpを増加させてもスティックスリップ効果が軽減されないことが示された。
• kp ≈ 2.1×10⁻³を超えると、LMIs条件は実行不能となり、微小な時間遅れに対してもロバストネスが制限された。
• ルジャンドル射影に基づく提案されたリャプノフ汎関数は、従来の手法が失敗する状況でも、効果的な安定性解析を可能にした。