[論文レビュー] Practical techniques of analytic perturbation theory of QCD

B. A. Magradze|ArXiv.org|May 2, 2003

Sports Dynamics and Biomechanics参考文献 2被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、QCDの$¯{MS}$スキームにおける4ループまでの走る結合定数の正確な数値解を基準として、Lambert-W関数に基づく近似解と従来の漸近的近似の精度を評価する。正確な数値解を基準として、特に高次の切り捨て級を用いたLambert-W近似は、赤外領域全域で正確な結果と極めて良好に一致しており、ハドロン物理学に重要な低エネルギー領域において、漸近的近似よりも顕著に優れた精度を示す。

ABSTRACT

The Lambert-W explicit solutions to the QCD renormalization group (RG) equation are considered up to fourth order in the ${\bar {MS}}$ scheme. We compare, systematically, these solutions with the conventional asymptotical (iterative) approximations and with the exact numerical solutions to the RG equation in the domain with three quark flavours. Applications of these solutions in analytic perturbation theory (APT) are discussed. Using these (Lambert-W, asymptotical and exact numerical) solutions we reconstruct the expansion functions for the non-power APT series in the space- and time-like regions. These expansion functions are examined in the infrared region. It is shown that the Lambert-W solutions provide the excellent accuracy.

研究の動機と目的

• QCDの$¯{MS}$スキームにおける重み関数の微分方程式の正確な数値解、Lambert-W解、漸近的近似の精度を体系的に比較すること。
• 特にLandau特異性付近および$M_\tau$や$m_\rho$のような低エネルギースケールにおける、これらの近似の性能を評価すること。
• Lambert-Wおよび漸近的解を用いて、時空的領域におけるEuclideanおよびミンコフスキー空間のAPT展開関数${\cal A}_n(Q^2)$および${\mathfrak{A}}_n(s)$を再構成すること。
• 高次のQCD計算におけるLambert-W結合定数に基づく切り捨て級展開の収束性および数値的信頼性を評価すること。
• 高精度なQCDの現象論的計算に適した数値実装が可能な、APT関数の閉形式の解析的表現および再帰式を提供すること。

提案手法

• QCDの重み関数方程式の正確な2ループ解をLambert-W関数で表現する：$\alpha_s^{(2)}(Q^2,f) = -\frac{\beta_0}{\beta_1} \frac{1}{1 + W_{-1}(\zeta)}$、ここで$\zeta$は$Q^2/\Lambda^2$で定義される。
• 高次の結合定数を2ループLambert-W結合定数の級数展開として表すことにより、4ループまでLambert-W解を拡張する：$\alpha_s^{(k)}(Q^2) = \sum_{n=1}^\infty c_n^{(k)} \alpha_s^{(2)n}(Q^2)$。
• 複素$Q^2$平面における重み関数方程式の正確な数値解と比較して、これらの近似を従来の漸近的（反復的）展開と比較する。
• Lambert-Wおよび漸近的結合定数近似を用いて、Euclideanおよびミンコフスキー空間のAPT展開関数${\cal A}_n(Q^2)$および${\mathfrak{A}}_n(s)$を再構成する。
• 重み関数方程式から導かれる再帰関係式を用いる：$\frac{\partial{\cal A}_n^{(k)}}{\partial\ln Q^2} = -n \sum_{N=0}^{k-1} \beta_N^f {\cal A}_{n+N+1}^{(k)}$、これにより効率的な数値計算が可能になる。
• 複素平面における超越的重み関数方程式の正確な解を数値的に得ることで、系列の切り捨てパラメータ$N_{tr}$を用いた数値的比較を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 赤外領域において、Lambert-W解のQCD走る結合定数の精度は、正確な数値解と比べてどの程度高いか？
• RQ2 Lambert-W結合定数に基づく切り捨て級展開は、高次のQCD計算において収束性と精度をどの程度向上させるか？
• RQ3 空間的および時間的領域におけるAPT展開関数の再構成において、漸近的近似とLambert-W解の性能はどのように比較されるか？
• RQ4 4ループまで高次のループオーダーを上げた場合、Lambert-W解および漸近的近似の精度にどのような影響があるか？
• RQ5 Lambert-Wアプローチを用いてAPT関数の閉形式の解析的表現を導出できるか？また、数値的に正確な結果と比べてその性能はいかがなものか？

主な発見

• $\tau$ボソン質量スケール（$M_\tau = 1.77$ GeV）において、十分に高い切り捨て次数（$N_{tr} = 9$）を用いることで、Lambert-Wに基づく近似は正確な数値的走る結合定数と0.01%未満の誤差で一致する。
• $\tau$ボソンスケールにおいて、漸近的近似は1.6%の誤差を示すが、Lambert-Wの切り捨て級は0.01%未満の精度に達しており、顕著な改善が確認される。
• $s = M_\tau^2$におけるミンコフスキー空間関数$\mathfrak{A}_{as,1}^{(4)}(s)$について、漸近的近似は0.5%の誤差を示すが、これは低次の近似に比べて顕著に低減されている。
• 4ループの漸近的近似において、Euclideanおよびミンコフスキー空間関数の誤差はそれぞれ0.4%および0.5%であり、高次のオーダーに伴い収束性が向上していることが示された。
• Lambert-Wに基づく展開関数${\cal A}_{ts,n}^{(4)}(Q^2)$および${\mathfrak{A}}_{ts,n}^{(4)}(s)$の再構成は、正確な数値的結果とほぼ完全に一致している。
• 再帰式(7)および(23)は、Mapleのような記号計算システムにおけるAPT関数の効率的かつ安定した数値実装を可能にし、高精度計算を支援する。