[論文レビュー] Practical volume computation of structured convex bodies, and an application to modeling portfolio dependencies and financial crises

Ludovic Calès, Apostolos Chalkis+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2018

Market Dynamics and Volatility被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、単体と平行な超平面、または共心を持つ楕円体の交差といった構造的凸体の体積を計算するための効率的アルゴリズムを提示している。正確な方法と近似手法を組み合わせ、棄却サンプリング、Hit-and-Runを用いたマルコフ連鎖モンテカルロ法、最適化されたローレンス符号分解法を用いる。主な貢献は、コペュラモデルを用いてポートフォリオリターンとボラティリティの依存関係から導出される新規な金融危機インジケーターであり、実市場データにおいて歴史的危機を高い正確性で的確に特定している。

ABSTRACT

We examine volume computation of general-dimensional polytopes and more general convex bodies, defined as the intersection of a simplex by a family of parallel hyperplanes, and another family of parallel hyperplanes or a family of concentric ellipsoids. Such convex bodies appear in modeling and predicting financial crises. The impact of crises on the economy (labor, income, etc.) makes its detection of prime interest. Certain features of dependencies in the markets clearly identify times of turmoil. We describe the relationship between asset characteristics by means of a copula; each characteristic is either a linear or quadratic form of the portfolio components, hence the copula can be constructed by computing volumes of convex bodies. We design and implement practical algorithms in the exact and approximate setting, we experimentally juxtapose them and study the tradeoff of exactness and accuracy for speed. We analyze the following methods in order of increasing generality: rejection sampling relying on uniformly sampling the simplex, which is the fastest approach, but inaccurate for small volumes; exact formulae based on the computation of integrals of probability distribution functions; an optimized Lawrence sign decomposition method, since the polytopes at hand are shown to be simple; Markov chain Monte Carlo algorithms using random walks based on the hit-and-run paradigm generalized to nonlinear convex bodies and relying on new methods for computing a ball enclosed; the latter is experimentally extended to non-convex bodies with very encouraging results. Our C++ software, based on CGAL and Eigen and available on github, is shown to be very effective in up to 100 dimensions. Our results offer novel, effective means of computing portfolio dependencies and an indicator of financial crises, which is shown to correctly identify past crises.

研究の動機と目的

• 金融モデリングに生じる構造的凸体の体積計算のための実用的でスケーラブルなアルゴリズムの開発。
• 凸体の体積から導出されるコペュラを用いて、ポートフォリオリターンとボラティリティの時間的変動依存関係をモデリングすること。
• リターン・ボラティリティ対角線に沿ったポートフォリオ分布に基づく金融危機検出インジケーターの設計。
• 100次元に達する高次元における、複数の計算手法の正確性、速度、正確性のトレードオフの評価。
• 提案されたインジケーターの実市場データへの妥当性検証および既存の危機データベースとの比較。

提案手法

• 特に小さな体積に対しては不正確であるが、高速な体積推定のため単体上での棄却サンプリングを用いる。
• 単一の超平面との交差に対しては、累積分布関数に基づく正確な積分公式を適用する。
• 平行な超平面と単体の交差によって形成される単純で構造的なポリトープに特化した最適化されたローレンス符号分解法を適用する。
• 第二順序錐計画法を用いて内接球を計算し、初期化に用いる一般化されたHit-and-Runランダムウォークを用いたマルコフ連鎖モンテカルロ法を実装する。
• 同様の幾何的手法を非凸体へ応用し、実験的に有望な結果を得ている。
• CGALとEigenを活用したC++ソフトウェアスタックを構築し、GitHubでオープンソース化。100次元まで正確および近似体積計算をサポートする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 100次元に達する高次元空間において、構造的凸体の効率的かつ正確な体積計算が達成可能か。
• RQ2 正確法、近似法、サンプリングベース手法といった異なる計算手法は、速度、正確性、スケーラビリティの観点でどのように比較されるか。
• RQ3 ポートフォリオのリターンとボラティリティ制約から導出される凸体の体積を用いて、金融危機のモデリングと検出が可能か。
• RQ4 リターン・ボラティリティ対角線に沿ったポートフォリオ分布に基づく提案された金融危機インジケーターは、実市場データにおける歴史的危機を的確に特定できるか。
• RQ5 Hit-and-Run MCMC手法は、正確性を維持したまま非凸体へどの程度拡張可能か。

主な発見

• 提案されたソフトウェアスタックは、100次元まで実用的な体積計算を実現し、複数の手法において優れた性能を示した。
• 棄却サンプリングは最も高速だが、小さな体積に対しては最も不正確。単一の超平面との交差に対しては正確法が最適である。
• 第二順序錐計画法を用いた内接球計算により、Hit-and-Run MCMC法は非線形で複雑な凸体に対しても頑健なサンプリングを可能にした。
• リターン対角帯とボラティリティ対角帯におけるポートフォリオ質量比に基づく金融危機インジケーターは、1990年から2008年までのヨーロッパの主要5回の危機（ドットコムバブルやサブプライム危機を含む）を的確に特定した。
• 危機期間中はインジケーターが1より大きい値を60日以上にわたり維持し、ローリングウィンドウ内の短期自己相関による誤検出を回避した。
• モーメンタム効果（60日間の累積リターンが次の60日間のリターンを予測する）は10件のイベントに観察され、主に1998年から2004年ごろにかけてであり、危機期間と最小限の重複を示した—これはファイナンス分野における新規な経験的事実である。