[論文レビュー] Pre-alternative algebras and pre-alternative bialgebras

Xiang Ni, Chengming Bai|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、双極的代数と前Lie代数の『交換的』な類似物としてのpre-alternative代数を導入し、その積が2つの整合性のある作用に分解されることを示す。これらの代数に対してコブラジアン双代数理論を確立し、pre-alternative双代数が交換的代数の位相空間と同値であることを示し、古典的ヤン・バクスター方程式の類似物として$PA$-方程式を導入する。

ABSTRACT

We introduce a notion of pre-alternative algebra which may be seen as an alternative algebra whose product can be decomposed into two pieces which are compatible in a certain way. It is also the "alternative" analogue of a dendriform dialgebra or a pre-Lie algebra. The left and right multiplication operators of a pre-alternative algebra give a bimodule structure of the associated alternative algebra. There exists a (coboundary) bialgebra theory for pre-alternative algebras, namely, pre-alternative bialgebras, which exhibits all the familiar properties of the famous Lie bialgebra theory. In particular, a pre-alternative bialgebra is equivalent to a phase space of an alternative algebra and our study leads to what we called $PA$-equations in a pre-alternative algebra, which are analogues of the classical Yang-Baxter equation.

研究の動機と目的

• 双極的代数と前Lie代数の非結合的類似物としてpre-alternative代数を定義し、その性質を研究すること。
• Lie双代数理論に類似したpre-alternative代数の双代数理論を構築すること。
• pre-alternative双代数と交換的代数の位相空間との同値性を確立すること。
• 古典的ヤン・バクスター方程式の交換的代数版としての$PA$-方程式を導入し、その解析を行うこと。
• pre-alternative代数の文脈における双モジュール構造とマッチドペアの構造を考察すること。

提案手法

• 双線形積$\prec$と$\succ$を用いてpre-alternative代数を定義し、その結合子が消えることにより、双極的代数を交換的代数の設定に一般化する。
• pre-alternative代数における左および右乗法作用素を定義し、それらが関連する交換的代数上の双モジュールをなすことを示す。
• 要素$r \in A \otimes A$が$PA$-方程式を満たすことで定義されるコブラジアン構造を用いて、pre-alternative双代数を構成する。
• pre-alternative双代数と交換的代数の位相空間との同値性を確立し、ドリンフェルトの双対構成を一般化する。
• $PA$-方程式を$A \otimes A \otimes A$におけるテンソル方程式系として導出し、古典的ヤン・バクスター方程式に類似する形で定式化する。
• 交換的代数の表現論を基盤として、双代数構造の構築と双対性の証明に用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双極的代数の概念を交換的代数の文脈に一般化することで、新たな非結合的代数のクラスが得られるか？
• RQ2 pre-alternative代数の双代数理論はどのようなものであり、Lie双代数の構造とどのように類似しているか？
• RQ3 pre-alternative双代数と交換的代数の位相空間との間の正確な関係は何か？
• RQ4 $PA$-方程式とは何か？そして、古典的ヤン・バクスター方程式の交換的代数版としてどのように機能するか？
• RQ5 pre-alternative代数における双モジュールおよびマッチドペア構造は、双代数の構築をどのように支援するか？

主な発見

• pre-alternative代数は、左、中間、右の結合子がすべて消える二つの双線形積$\prec$と$\succ$を持つベクトル空間として定義され、双極的代数を交換的代数の文脈に一般化する。
• pre-alternative代数における左および右乗法作用素は、関連する交換的代数上の双モジュールをなす。
• pre-alternative双代数は交換的代数の位相空間と同値であり、マニン三重項の概念を交換的代数の文脈に拡張する。
• コブラジアンpre-alternative双代数は、$PA$-方程式の反対称解$r \in A \otimes A$から構成される。
• $PA$-方程式は$A_1 = r_{23} \circ r_{12} - r_{13} \circ r_{23} - r_{12} \circ r_{13} = 0$および$A_2 = r_{12} \circ r_{23} - r_{23} \circ r_{13} - r_{13} \circ r_{12} = 0$として定義され、古典的ヤン・バクスター方程式を一般化する。
• 反対称な$r$に対して、$PA$-方程式$A_1$と$A_2$は同値であり、解はコブラジアン公式$\Delta(x) = (\mathfrak{r}_\circ(x) \otimes 1 - 1 \otimes \mathfrak{l}_\circ(x))r$を介して適切に定義されたpre-alternative双代数構造をもたらす。