[論文レビュー] Pre-Calabi-Yau algebras and topological quantum field theories

Maxim Kontsevich, Alex Takeda+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2021

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、滑らかさやコンパクト性といった有限性条件を要しないA-無限代数や圏におけるCalabi-Yau構造の一般化として、pre-Calabi-Yau (pre-CY) 構造を導入する。pre-CY構造がA-無限代数のHochschildチェインに、装飾されたリーマン面へのチェインのPROP作用をもたらし、インデックス1のハンドルによって生成される部分的に定義された拡張2次元トポロジカル量子場理論（TQFT）を実現することを確立する。

ABSTRACT

We introduce a notion generalizing Calabi-Yau structures on A-infinity algebras and categories, which we call pre-Calabi-Yau structures. This notion does not need either one of the finiteness conditions (smoothness or compactness) which are required for Calabi-Yau structures to exist. In terms of noncommutative geometry, a pre-CY structure is as a polyvector field satisfying an integrability condition with respect to a noncommutative analogue of the Schouten-Nijenhuis bracket. We show that a pre-CY structure defines an action of a certain PROP of chains on decorated Riemann surfaces. In the language of the cobordism perspective on TQFTs, this gives a partially defined extended 2-dimensional TQFT, whose 2-dimensional cobordisms are generated only by handles of index one. We present some examples of pre-CY structures appearing naturally in geometric and topological contexts.

研究の動機と目的

• A-無限代数および圏におけるCalabi-Yau構造を、滑らかさやコンパクト性の条件を必要としない形で一般化すること。
• 非可換Schouten-Nijenhuis括弧を用いて、可換でない多ベクトル場の類似物としてpre-CY構造を定義すること。
• マーク付きリボンクワイバーのPROPを用いて、Hochschildチェインへのトポロジカル場理論作用を確立すること。
• 有限次元多様体の境界や反標準線束の切断をもつ多様体などの幾何的・位相的文脈におけるpre-CY構造の自然な例を提供すること。
• pre-CY構造と変形理論および非可換幾何学（最小モデルやラグランジュ近傍定理を含む）の関係を結ぶこと。

提案手法

• リボンクワイバーと装飾された表面を用いた図式的計算を用いて、高次Hochschildコホモロジーとそのグラフィカルな記法を導入する。
• モジュライ空間のRiemann面への作用を一般化した、Hochschildチェインへの微分付きPROP作用を用いてpre-CY構造を定義する。
• ネックレイス括弧と高次コホモロジー上の循環的作用を用いて、Schouten-Nijenhuis括弧に類似した統合性条件を符号化する。
• 微分、合成、方向性構造を備えたマーク付きリボンクワイバーのPROPを構成し、TQFT作用をモデル化する。
• Hochschildチェインへの作用を適用して、インデックス1のハンドルのみによって生成される部分的に定義された拡張2次元TQFTを定義する。
• PROPの偶数次元および奇数次元成分の間の同型を確立し、符号構造と方向性を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 A-無限代数において、滑らかさやコンパクト性の条件を必要としない形でCalabi-Yau構造をどのように一般化できるか？
• RQ2 可換でない多ベクトル場の類似物としての非可換アナログは何か？ そして、Schouten-Nijenhuis括弧とはどのように関係するか？
• RQ3 pre-CY構造はHochschildチェインへのトポロジカル場理論作用を誘導するか？ もしそうなら、その背後にある代数的構造は何か？
• RQ4 境界付き多様体や反標準線束の切断をもつ多様体などの自然な幾何的・位相的実現は何か？
• RQ5 pre-CY構造の変形理論は、高次Hochschildコホモロジーおよび滑らかなCalabi-Yau構造とどのように関係するか？

主な発見

• pre-Calabi-Yau構造は、ネックレイス括弧による非可換統合性条件を満たす多ベクトル場として定義され、有限性条件を要しない。
• pre-CY構造は、A-無限代数のHochschildチェインへの、装飾されたリーマン面へのチェインのPROP作用を誘導する。
• この作用は、インデックス1のハンドルのみによって生成される部分的に定義された拡張2次元TQFTを実現する。
• マーク付きリボンクワイバーのPROPは、TQFT作用の組み合わせ的モデルを提供し、微分および合成則が位相的・代数的制約を符号化する。
• 例として、Poincaré双対性ペアを用いた境界付き有限次元多様体、および反標準線束の切断をもつ多様体があり、これらは自然にpre-CY構造をもつ。
• 理論には非可換ラグランジュ近傍定理と、Kaledin類および最小モデルを用いたpre-CY構造の形式的基準が含まれる。