[論文レビュー] Pre-Poisson submanifolds

Alberto S. Cattaneo, Marco Zambon|ArXiv.org|Oct 30, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ポアソン幾何学における前ポアソン部分多様体の概念を導入し、ポアソン多様体 $ P $ の部分多様体 $ C $ が、$ C \subset \tilde{P} \subset P $ となるような大きなポアソン部分多様体 $ \tilde{P} $ に共変的に埋め込めるための必要十分条件を確立している。その条件は、鋭い写像による余接バンドルの引き戻しのランクが一定であることである。主な結果は、$ C $ のチューブ型近傍内でポアソン微分同相型の同型を除いて一意であるという一意性定理であり、これはシンプレクティック幾何学におけるモーザー型の一意性をポアソン幾何学へ一般化し、シンプレクティックな共変埋め込み結果をポアソン設定へ拡張したものである。

ABSTRACT

This is an expository and introductory note on some results obtained in "Coisotropic embeddings in Poisson manifolds" (ArXiv math/0611480). Some original material is contained in the last two sections, where we consider linear Poisson structures.

研究の動機と目的

• 任意の部分多様体 $ C $ がポアソン多様体 $ P $ に共変的に埋め込めるような条件を同定すること。
• 部分多様体 $ C $ のチューブ型近傍内で、そのような埋め込みがポアソン微分同相型に一意であることを確立すること。
• 共変埋め込みのための関連クラスとして、前ポアソン部分多様体のクラスを定義し、特徴づけること。
• シンプレクティック幾何学におけるモーザー経路法の結果をポアソン設定へ拡張し、『一階の同型』の一意性から『近傍全体の一意性』へ置き換えること。
• 前ポアソン部分多様体とリー群ガロイド構造との対応関係を分析すること、特に $ \mathfrak{g}^* $（リー代数の双対）の場合を含む。

提案手法

• ポアソンテンソルの鋭い写像 $ \sharp $ を用いて、$ \sharp^{-1}TC $ が一定ランクをとる部分多様体として前ポアソン部分多様体を定義する。
• 条件 $ \sharp^{-1}TC $ が一定ランクをとることを、$ C \subset \tilde{P} \subset P $ となるようなポアソン部分多様体 $ \tilde{P} $ の存在の十分条件とする。
• シンプレクティック幾何学におけるモーザーの経路法に類似した技法を用い、$ TC + T^\perp C $ の補空間に沿って $ C $ を拡張することで、埋め込み $ \tilde{P} $ を構成する。
• 前ポアソン部分多様体のリー群ガロイド的双対を、$ \sharp^{-1}TC $ を統合するシンプレクティックガロイドの源接続部分ガロイドとして同定する。
• $ P = \mathfrak{g}^* $（リー代数の双対）であり、$ C $ がアフィン部分空間である場合を分析し、$ C $ が前ポアソンであるための必要十分条件が、$ C $ が交差する共軌道の次元がすべて一定であることであることを示す。
• 標準的なリー代数束同型 $ T^*P \cong \ker(\mathbf{t}_*|_P) $ を用いて、群ガロイド構造と余接バンドル、特徴的分布との関係を定式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の部分多様体 $ C \subset P $ がポアソン多様体 $ P $ に共変的に埋め込める条件は何か？
• RQ2 部分多様体 $ \tilde{P} $ は $ C $ のチューブ型近傍内でポアソン微分同相型に一意的か？
• RQ3 このような共変埋め込みが存在するような部分多様体 $ C \subset P $ の幾何学的・代数的特徴づけは何か？
• RQ4 前ポアソン条件は、特に、シンプレクティック形式の引き戻しのランクが一定であることとどのように関係するか？
• RQ5 特に $ \mathfrak{g}^* $ の場合に、前ポアソン部分多様体のリー群ガロイド的解釈は何か？

主な発見

• ポアソン多様体 $ P $ の部分多様体 $ C \subset P $ が、あるポアソン部分多様体 $ \tilde{P} \subset P $ に共変的に埋め込めるための必要十分条件は、$ \sharp^{-1}TC $ が一定ランクをとることである。
• もし $ \sharp^{-1}TC $ が一定ランクをとるならば、部分多様体 $ \tilde{P} $ が存在し、$ C $ のチューブ型近傍内でポアソン微分同相型に一意的である。
• シンプレクティックな場合、前ポアソン条件は、シンプレクティック形式の引き戻しのランクが一定であることと一致し、古典的なモーザー型一意性結果を回復・強化する。
• $ P = \mathfrak{g}^* $ の場合、部分多様体 $ C $ が前ポアソンであるための必要十分条件は、$ C $ が交差するすべての共軌道の次元が同じであることである。
• シンプレクティックガロイド $ \mathfrak{g}^* \times G $ が $ \sharp^{-1}TC $ を統合する源接続部分ガロイドは、$ \{(x,g) \in \mathfrak{g}^* \times G : \operatorname{Ad}^*_{g^{-1}}(x) = x \} $ であり、これは前シンプレクティック部分多様体である。
• リー部分代数束 $ N^*C \cap \sharp^{-1}TC \subset T^*P $ は、$ C \times \mathfrak{d} $ に同型であり、ここで $ \mathfrak{d} $ は同型部分群 $ D \subset G $ のリー代数である。この代数束は、リー部分ガロイド $ C \times D \subset \mathfrak{g}^* \times G $ に統合される。