[論文レビュー] Precise asymptotics for the density and the upper tail of exponential functionals of subordinators

Bénédicte Haas|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2021

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、サブオルダレーターのラプラス指数を用いて、指数的関数の密度および上尾分布の正確な漸近的同値を確立する。1次収束率を導出し、高次項を体系的に計算する手法を提供する。特に、原点近傍でべき則的挙動を示すLévy測度を有するサブオルダレーターに対して明示的な結果が得られる。

ABSTRACT

We provide exact large-time equivalents of the density and upper tail distributions of the exponential functional of a subordinator in terms of its Laplace exponents. This improves previous results on the logarithmic asymptotic behaviour of the upper tail. Since the results in their general form remain rather abstract, we study some fairly common situations in details to see how the behavior near 0 of the Lévy measure of the subordinator influences the asymptotics of the density and upper tail distributions. Several examples of applications are then discussed.

研究の動機と目的

• サブオルダレーターの指数的関数の密度および上尾分布の正確な大時間漸近的挙動を導出すること。
• 原点近傍におけるLévy測度の小スケール挙動が、尾および密度の漸近的挙動に与える影響を定量化すること。
• 1次以上の高次漸近展開を体系的に計算するための一般枠組みを提供すること。
• 自己相似マルコフ過程、断片化、凝集の応用と漸近的挙動を結び付けること。
• 既存の手法（Mellin変換への鞍点法など）と比較・対比すること。

提案手法

• 尾分布の対数微分に関する積分方程式を導出し、サブオルダレーターのラプラス指数と関連付ける。
• 尾の積分方程式とラプラス指数の積分方程式との類似性を活用し、高次漸近項を反復的に計算する。
• TauberianおよびAbelian定理を用いて、ラプラス指数の漸近的挙動と指数的関数の尾および密度の関係を確立する。
• ラプラス指数が無限大でべき則的展開を持つ場合を分析し、明示的な漸近的表現を可能にする。
• 自己相似マルコフ過程における吸収時刻に関する条件付き確率論的考察を用いて、モーメントの漸近的挙動を導出する。
• 優越収束定理を用いて収束性を検証し、対数尾関数の微分を用いた尾の減衰に関するバウンドを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サブオルダレーターの指数的関数の密度および上尾の漸近的挙動は、ラプラス指数にどのように依存するか？
• RQ2 時間 $ t \to \infty $ のとき、尾および密度の正確な1次漸近的挙動は何か？
• RQ3 Lévy測度の原点近傍における局所的挙動は、尾および密度の減衰速度にどのように影響するか？
• RQ4 ラプラス指数から高次漸近項を体系的に導出可能か？
• RQ5 これらの漸近的挙動は、自己相似マルコフ過程のモーメントおよびスケーリング極限にどのような意味を持つか？

主な発見

• 本稿は、サブオルダレーターのラプラス指数 $\phi$ を用いて、上尾確率 $\mathbb{P}(I > t)$ の正確な大時間同値を確立する。
• $ t \to \infty $ のとき、指数的関数の密度 $k(t)$ の正確な漸近的同値が、ラプラス指数から導出される。
• 1次収束率が直接得られ、反復的精錬法により高次項を計算する手法が提供される。
• 原点近傍でべき則的挙動を示すLévy測度を有するサブオルダレーターに対して、尾および密度は、正則変動の指数によって定まる明示的なべき則的減衰を示す。
• 自己相似マルコフ過程におけるモーメント収束を示す応用が行われ、極限モーメントは $\phi(\alpha i)$ の積で特徴付けられる。
• 従来の対数的漸近的挙動よりも収束速度が鋭くなる。MinchevとSavovの鞍点法とは異なり、体系的な展開フレームワークを提供する。