[論文レビュー] Precise estimation on the order of local testability of deterministic finite automaton

A. N. Trahtman|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2020

semigroups and automata theory参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$n$ 個の状態をもつ決定的有限オートマトンにおける局所的テスト可能性の順序の正確な上界 $(n^2 - n)/2 + 1$ を提示し、それがタイトであることを証明する。Kim, McNaughton, McCluskeyの予想を解消するため、アルファベットが2文字のオートマトンの族を構築し、そのテスト可能性の順序が $ olimits\Omega(n^2)$ であることを示した。これにより、2文字アルファベットでは $O(n^{1.5})$ であるという予想が否定された。

ABSTRACT

A locally testable language L is a language with the property that for some non negative integer k, called the order or the level of local testable, whether or not a word u in the language L depends on (1) the prefix and the suffix of the word u of length k-1 and (2) the set of intermediate partial strings of length k of the word u. For given k the language is called k-testable. We give necessary and sufficient conditions for the language of an automaton to be k-testable in the terms of the length of paths of a related graph. Some estimations of the upper and of the lower bound of testable order follow from these results. We improve the upper bound on the testable order of locally testable deterministic finite automaton with n states to n(n-2)+1 This bound is the best possible. We give an answer on the following conjecture of Kim, McNaughton and Mac-CLoskey for deterministic finite locally testable automaton with n states: \Is the local testable order of no greater than n in power 1.5 when the alphabet size is two?" Our answer is negative. In the case of size two the situation is the same as in general case.

研究の動機と目的

• $n$ 個の状態をもつ決定的有限オートマトンにおける局所的テスト可能性の順序の正確な上界を特定すること。
• Kim, McNaughton, McCluskeyが提起した、2文字アルファベットのオートマトンにおけるテスト可能性の順序が $O(n^{1.5})$ であるという予想を解消すること。
• 直接積グラフ $\Gamma \times \Gamma$ におけるパス長の解析を用いて、$k$-テスト可能であるための必要十分条件を確立すること。
• 局所的テスト可能性の順序が $\Omega(n^2}$ に達することを示す明示的なオートマトンを構築すること、すなわち2文字アルファベットでも同様に成立すること。

提案手法

• 決定的有限オートマトンの状態遷移グラフ $\Gamma$ を分析し、直接積グラフ $\Gamma \times \Gamma$ を構築してパス構造を研究する。
• $\Gamma \times \Gamma$ におけるループのないパス長の制約を用いて、$k$-テスト可能性の必要十分条件を導出する。
• 先行研究における $k$-テスト可能な半群の恒等式を適用し、オートマトンの句記述半群を特徴付ける。
• $n$ 個の状態と2文字アルファベットをもつ決定的有限オートマトンの族を構築し、$\Gamma \times \Gamma$ における明示的なパス構築により、そのテスト可能性の順序が $ olimits\Omega(n^2)$ であることを示した。
• $(n^2 - n)/2 + 1$ の上界が、削減済みで局所的にテスト可能なオートマトンにおいて必要かつ十分であることを示すことにより、この上界がタイトであることを証明した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n$ 個の状態をもつ決定的有限オートマトンにおける局所的テスト可能性の順序は、上界として $(n^2 - n)/2 + 1$ に抑えられるか？
• RQ2 アルファベットのサイズが2である場合でも、局所的テスト可能性の順序は $ olimits\Omega(n^2)$ に成長するか？
• RQ3 2文字アルファベットでは $O(n^{1.5})$ の成長であるという予想は、確認可能か、反証可能か？
• RQ4 直接積グラフ $\Gamma \times \Gamma$ におけるパス長の観点から、$k$-テスト可能性の必要十分条件を表現できるか？

主な発見

• 削減済みの決定的有限オートマトンが $n$ 個の状態をもつ場合、局所的テスト可能性の順序の正確な上界は $(n^2 - n)/2 + 1$ であり、この上界はタイトである。
• この論文は、$n$ 個の状態をもつ2文字アルファベットの決定的有限オートマトンの族を構築し、そのテスト可能性の順序が $ olimits\Omega(n^2}$ であることを示した。これにより、$O(n^{1.5})$ の成長という予想は否定された。
• 構築されたオートマトンの $\Gamma \times \Gamma$ グラフに長さ $2n^2 + 4n - 6$ のパスが存在することは、テスト可能性の順序に対する $ olimits\Omega(n^2)$ の下界を示している。
• 強連結な状態遷移グラフに対しては、$k$-テスト可能性の条件が必要かつ十分であるため、順序の計算に多項式時間アルゴリズムを適用可能である。
• 本結果により、局所的テスト可能性の順序が状態数を上回ることも可能であることが確認された。28個の状態をもつオートマトンにおいて、順序が126を上回ることを示した。