[論文レビュー] Precise interpretation of the conformable fractional derivative

Ahmed A. Abdelhakim|arXiv (Cornell University)|May 7, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Khalilらによって定義された可換分数階微分 $ T_{\beta}f(x) $ が、数学的に古典的微分可能性と同等であることを確立している：$ x > 0 $ に対して $ T_{\beta}f(x) = x^{1-\beta}f'(x) $ が成り立つ。主な貢献は、可換的意味での $ \alpha $-微分可能性が標準的微分可能性と同等であることを証明し、スケーリング係数を伴う古典的導関数に還元することにより、分数階微積分における証明および計算を単純化することにある。

ABSTRACT

Let $α\in\,]0,1[$. We prove that the existence of the conformable fractional derivative $T_αf$ of a function $f:[0,\infty[\,\longrightarrow \mathbb{R}$ introduced by Khalil et al. in [R. Khalil, M. Al Horani, A. Yousef, M. Sababheh, A new definition of fractional derivative, J. Comput. Appl. Math. 264 (2014) 65-70] is equivalent to classical differentiability. Precisely the fractional $α$-derivative of $f$ is the pointwise product $T_αf(x)=x^{1-α}f^{\prime}(x)$, $x>0$. This simplifies the recent results concerning conformable fractional calculus.

研究の動機と目的

• Khalilらが導入した可換分数階微分の解釈における曖昧さを解消すること。
• $ \alpha $-微分可能性が古典的微分可能性を意味するのか、それともまったく新しい概念なのかを明確にすること。
• 古典的導関数を用いて可換微分を明確かつ明示的に特徴づけること。
• スケーリング係数を伴う標準的微積分に還元されることを示唆することで、可換分数階微積分における既存の結果を単純化すること。

提案手法

• 極限定義における変数変換を用いて、$ T_{\alpha}f(x) $ の存在が $ x > 0 $ における $ f $ の微分可能性を示すことを証明する。
• 極限定義から明示的な関係式 $ T_{\alpha}f(x) = x^{1-\alpha}f'(x) $ を導出し、古典的導関数との同等性を示す。
• $ x = 0 $ における挙動を分析し、$ T_{\alpha}f(0) = \lim_{x \to 0^+} x^{1-\alpha}f'(x) $ が成り立つことを示し、$ f' $ が 0 の近傍で有界であればこの極限は 0 であることを示す。
• 可換微分 $ T_{\alpha} $ と代替定義 $ U_{\alpha} $ を比較し、両者とも古典的微分可能性と同等であることを証明する。
• $ \log(1 + \epsilon/x)^{1/\epsilon} \to 1/x $ の漸近的解析を用いて、$ U_{\alpha} $ 定義が古典的導関数とどのように関係するかを示す。
• 一般原理を確立する：$ \lim_{\epsilon \to 0} h(\epsilon, x_0) \neq 0 $ ならば、$ \phi $ が $ x_0 $ で微分可能であることと、一般化された極限 $ \tilde{\phi}(x_0) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\phi(x_0 + \epsilon h(\epsilon,x_0)) - \phi(x_0)}{\epsilon} $ が存在し、$ \psi(x_0)\phi'(x_0) $ に等しいこととは同値である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換分数階微分 $ T_{\alpha}f(x) $ は真に新しい概念なのか、それとも古典的微分可能性と同等なのか？
• RQ2 $ T_{\alpha}f(x) $ の存在は、古典的導関数 $ f'(x) $ の存在を意味するのか？
• RQ3 可換微分を古典的導関数を用いて明示的に表現できるか？
• RQ4 $ T_{\alpha}f(0) $ の正しい解釈は何か？ そして、$ f' $ が 0 の近傍でどのように振る舞うかとどのように関係するか？
• RQ5 $ U_{\alpha}f(x) $ のような可換微分の代替定義は、古典的微分可能性とも同等なのか？

主な発見

• $ x > 0 $ において、可換分数階微分 $ T_{\alpha}f(x) $ が存在するのは、$ f $ が $ x $ で微分可能であるときであり、かつそのときに限る。このとき $ T_{\alpha}f(x) = x^{1-\alpha}f'(x) $ が成り立つ。
• [10] で主張されているように、$ \alpha $-微分可能な関数が必ずしも古典的に微分可能でないという主張は誤りである。$ g(x) = \sqrt{x} $ のような反例は、$ x > 0 $ における同等性を覆さない。
• $ x = 0 $ において、$ T_{\alpha}f(0) $ が存在するのは、$ \lim_{x \to 0^+} x^{1-\alpha}f'(x) $ が存在するときであり、かつそのときに限る。この極限は $ f' $ が 0 の近傍で有界であれば 0 である。
• 関数 $ \tilde{g}(x) = x^2\chi_{\mathbb{Q}}(x) $ は 0 のみで微分可能であるため、$ T_{\alpha}\tilde{g}(0) $ は存在しない。これは、微分可能性と $ \alpha $-微分可能性が 0 において独立であることを確認する。
• 代替可換微分 $ U_{\alpha}f(x) $ に対しても、$ U_{\alpha}f(x) = x^{1-\alpha}f'(x) $ が成り立ち、古典的微分可能性と同等であることが示された。
• 一般原理が確立された：関数 $ \phi $ が $ x_0 $ で微分可能であることと、関数 $ h(\epsilon, x_0) $ を含む一般化された極限 $ \tilde{\phi}(x_0) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\phi(x_0 + \epsilon h(\epsilon,x_0)) - \phi(x_0)}{\epsilon} $ が存在し、$ \psi(x_0)\phi'(x_0) $ に等しいこととは同値である。ここで $ \psi(x_0) = \lim_{\epsilon \to 0} h(\epsilon, x_0) $ である。