[論文レビュー] Precise large deviation estimates for branching process in random environment

Dariusz Buraczewski, Piotr Dyszewski|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、確率的環境下の分岐過程（BPRE）における大偏差の明確な漸近的推定を確立し、集団サイズが指数的閾値を超える確率の鋭い指数的減衰率を導出する。確率 $\mathbb{P}[Z_n > e^{\rho n}]$ は、明示的なレート関数 $I(\rho)$ を用いて $\sim \frac{\mathcal{C}_1(\rho)}{\sqrt{n}} e^{-I(\rho)n}$ のように減少することが示され、Cramér 条件の下で劣臨界的な場合の最初の通過時刻に対しても拡張され、$\mathbb{P}[T_t^Z < \infty] \sim c t^{-\alpha_0}$ が得られる。

ABSTRACT

We consider the branching process in random environment $\{Z_n\}_{n\geq 0}$, which is a~population growth process where individuals reproduce independently of each other with the reproduction law randomly picked at each generation. We describe precise asymptotics of upper large deviations, i.e. $\mathbb{P}[Z_n &gt; e^{ρn}]$. Moreover in the subcritical case, under the Cramér condition on the mean of the reproduction law, we investigate large deviations-type estimates for the first passage time of the branching process in question and its total population size.

研究の動機と目的

• 確率的環境下の分岐過程における上側尾部確率 $\mathbb{P}[Z_n > e^{\rho n}]$ の精密な漸近的挙動を導出すること。
• 劣臨界的な状況における最初の通過時刻 $T_t^Z = \inf\{n \geq 0 : Z_n > t\}$ への分析を拡張すること。
• Cramér 条件 $\mathbb{E}[A^{\alpha_0}] = 1$ の下で生存確率および超過時刻分布の正確な漸近的挙動を確立すること。
• $Z_n$ の大偏差挙動を、クエンチド平均 $\Pi_n$ および関連するランダムウォーク $S_n = \log \Pi_n$ と関連付けること。
• 最初の通過時刻分布の完全な漸近的記述、すなわち安定分布への収束および測度の極限における収束を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、環境依存の再生要因の積として人口過程を分解し、関連するランダムウォーク $S_n = \log \Pi_n$ に対して大偏差技法を適用する。
• 劣臨界的な状況の分析に Cramér 条件 $\mathbb{E}[A^{\alpha_0}] = 1$ を適用し、最初の通過時刻のべき乗則的減衰を導出する。
• 証明は測度の変更技法と、劣臨界的な状況における全集団サイズを特徴付ける極限確率変数 $R_{\infty}$ の使用に依存する。
• 部分積分と一様収束推定を用いて、測度 $dH_t(u)$ が定数倍されたLebesgue測度に収束することを確立する。
• 尾部寄与の制御にホルダーの不等式とモーメントバウンドを適用し、最初の通過時刻確率の分解における寄与を制御する。
• 積分を3つの領域に分割し、指数的および多項式的モーメントバウンドを用いて尾部の無視可能な寄与を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \to \infty$ のとき、$\mathbb{P}[Z_n > e^{\rho n}]$ の精密な漸近的挙動は何か、特に超臨界的および非超臨界的な場合に。
• RQ2 Cramér 条件の下で $t \to \infty$ のとき、最初の通過時刻 $T_t^Z = \inf\{n \geq 0 : Z_n > t\}$ はどのように漸近的に振る舞うか。
• RQ3 劣臨界的な BPRE 状況下で、$\mathbb{P}[T_t^Z < \infty]$ の正確な減衰率は何か。
• RQ4 最初の通過時刻の分布はどのように法則に収束し、極限測度は何か。
• RQ5 全集団サイズ $R_\infty$ は、大偏差および最初の通過時刻の漸近的挙動を決定づける役割を果たすか。

主な発見

• 超臨界的な場合、$\rho > \mathbb{E}[\log A]$ に対して、およびそれ以外の場合は $\rho > 0$ に対して、大偏差確率 $\mathbb{P}[Z_n > e^{\rho n}]$ は $\sim \frac{\mathcal{C}_1(\rho)}{\sqrt{n}} e^{-I(\rho)n}$ のように減少し、明示的に定義されたレート関数 $I(\rho)$ を持つ。
• Cramér 条件 $\mathbb{E}[A^{\alpha_0}] = 1$ の下で劣臨界的な場合、最初の通過時刻は $\mathbb{P}[T_t^Z < \infty] \sim c t^{-\alpha_0}$（$c > 0$）を満たし、全集団サイズ $R_\infty$ の尾部挙動と一致する。
• 最初の通過時刻に関連する極限測度 $H_t$ は弱収束し、定数倍されたLebesgue測度 $C_1 c(\alpha_0)$ に収束する。これは、正規化された最初の通過時刻分布が極限で正規分布に収束することを示唆する。
• 集団サイズ分布の本体からの寄与が尾部を支配し、中間領域における大きな値の確率はLebesgue測度に漸近的に比例する。
• 尾部からの無視可能な寄与は、ホルダーの不等式とモーメントバウンドを用いて厳密に制御され、漸近的同値性が保証される。
• 漸近的式における定数 $C_1$ は、極限 $\lim_{t \to \infty} e^{\alpha_0 s} \mathbb{P}[R_{n_1,n_y} > e^s]$ から生じる。この極限は一様に収束し、全集団サイズ $R_\infty$ と関連している。