[論文レビュー] Precise rates in the law of the iterated logarithm

Zhang Li|ArXiv.org|Oct 17, 2006

Probability and Risk Models参考文献 6被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、大数の法則の繰り返し対数法則の文脈において、独立同一分布に従う確率変数の部分和および最大値の尾確率の正確な漸近的割合を確立する。強近似および切断技術を用いて、最小限のモーメント条件のもとで、$σ\phi(n)(\epsilon + a_n(\epsilon))$ を含む重み付き確率の収束速度の正確な定数を導出する。Gut と Spätaru (2000) の先行結果を一般化・精錬したものであり、これらの正確な割合に必要な鋭いモーメント条件の同定が主たる貢献である。特に、$\mathbb{E}[X^2 I\{|X| \geq t\}] = o((\log\log t)^{-1})$ の条件の最適性が示されている。結果は、平均が0で分散が有限である一般の i.i.d. 列に対して成り立ち、正確な定数はガンマ関数および $a_n(\epsilon)$ の収束速度に依存する指数関数を含む。また、モーメント条件の必要性を証明し、尾条件の鋭さを確立している。

ABSTRACT

Let $X$, $X_1$, $X_2$, $...$ be i.i.d. random variables, and let $S_n=X_1+... + X_n$ be the partial sums and $M_n=\max_{k\le n}|S_k|$ be the maximum partial sums. We give the sufficient and necessary conditions for a kind of limit theorems to hold on the convergence rate of the tail probabilities of both $S_n$ and $M_n$. These results are related to the law of the iterated logarithm. The results of Gut and Spataru (2000) are special cases of ours.

研究の動機と目的

• 確率 $\mathbb{P}(M_n \geq \sigma\phi(n)(\epsilon + a_n(\epsilon)))$ および $\mathbb{P}(|S_n| \geq \sigma\phi(n)(\epsilon + a_n(\epsilon)))$ の正確な漸近的割合を、$\epsilon \downarrow \sqrt{1+a}$ のとき、$a > -1$, $b > -1/2$, および $a_n(\epsilon)\log\log n \to \tau$ として確立すること。
• Gut と Spätaru (2000) の正確漸近的挙動結果を一般化・精錬し、収束速度に必要な最小限の十分なモーメント条件を同定すること。
• $\mathbb{E}[X^2 I\{|X| \geq t\}] = o((\log\log t)^{-1})$ の条件が鋭い、すなわちこの条件を弱くすると漸近的結果が成立しなくなることを示すこと。
• $\epsilon \downarrow 0$ の場合に異なるスケーリングを用いて拡張し、$\log\log n$ 項を含む $\epsilon^{2(b+1)}$-重み付き和の結果を得ること。

提案手法

• 本稿は、部分和過程 $S_n$ および最大過程 $M_n$ を標準ブラウン運動 $W(t)$ とカップリングすることで、強近似技術を用い、正規分布でない確率をガウス過程の確率に置き換える。
• Feller (1945) および Einmahl (1989) のインスピレーションを受ける切断法を用いて、i.i.d. 和項の尾挙動を制御し、$X$ を切断済みおよび残差成分に分解する。
• 解析は、まず正規分布仮定のもとでの漸近的結果の検証（命題 2.1）から始め、その後、近似およびカップリングの議論により一般の i.i.d. 列に拡張する。
• 主たる技術的ステップは、重み付き和 $\sum_{n=1}^\infty \frac{("log n)^a (\log\log n)^b}{n} \mathbb{P}(M_n \geq \sigma\phi(n)(\epsilon + a_n(\epsilon)))$ が、$\epsilon \downarrow \sqrt{1+a}$ のとき、$\Gamma(b+1/2)$、$\sqrt{1/\pi(a+1)}$、および $\exp(-2\tau\sqrt{1+a})$ を含む定数に収束することを示すことである。
• モーメント条件の必要性は背理法により証明される：漸近的結果が成り立つが $\mathbb{E}[X^2 (\log|X|)^a (\log\log|X|)^{b-1}] = \infty$ であると仮定すると、重み付き和の収束と矛盾する。
• $\mathbb{E}[X^2 I\{|X| \geq t\}] = o((\log\log t)^{-1})$ の条件の鋭さは、条件が成立しない反例を構成することで示され、その場合漸近的結果が崩壊することを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小限のモーメント条件下で、$\epsilon \downarrow \sqrt{1+a}$ のとき、$\mathbb{P}(M_n \geq \sigma\phi(n)(\epsilon + a_n(\epsilon)))$ の正確な漸近的割合は何か、$a > -1$, $b > -1/2$ を満たす。
• RQ2 漸近的定数はパrameter $a$, $b$, および $a_n(\epsilon)\log\log n$ の極限 $\tau$ にどのように依存するか。
• RQ3 $\mathbb{E}[X^2 I\{|X| \geq t\}] = o((\log\log t)^{-1})$ の条件は、正確な漸近的挙動が成り立つために必要かつ鋭いか。
• RQ4 $\epsilon \downarrow 0$ の場合の正確な割合は何か。スケーリングおよび定数の点で $\epsilon \downarrow \sqrt{1+a}$ の場合とどのように異なるか。
• RQ5 重み付き和 $\sum_{n=1}^\infty \frac{( \log n)^a (\log\log n)^b}{n} \mathbb{P}(M_n \geq \sigma\phi(n)(\epsilon + a_n(\epsilon)))$ が有限で非ゼロの極限に収束するためのモーメント条件は何か。

主な発見

• 重み付き和 $\sum_{n=1}^\infty \frac{( \log n)^a (\log\log n)^b}{n} \mathbb{P}(M_n \geq \sigma\phi(n)(\epsilon + a_n(\epsilon)))$ の $\epsilon \downarrow \sqrt{1+a}$ における極限は、正確に $2\sqrt{\frac{1}{\pi(a+1)}} \Gamma(b+1/2) \exp(-2\tau\sqrt{1+a})$ に等しい。ここで $\tau = \lim_{n \to \infty} a_n(\epsilon) \log\log n$ である。
• 和の絶対値については、上記の半分である：$\sqrt{\frac{1}{\pi(a+1)}} \Gamma(b+1/2) \exp(-2\tau\sqrt{1+a})$。これは最大値と絶対値和の尾挙動に差があることを反映している。
• $\mathbb{E}[X^2 I\{|X| \geq t\}] = o((\log\log t)^{-1})$ の条件は鋭い：この条件が成立しない場合、漸近的結果は成立しなくなり、反例を構成することで示されている。
• 漸近的結果が成り立つための必要十分条件は、$\mathbb{E}[X] = 0$, $\mathbb{E}[X^2] = \sigma^2 < \infty$, および $\mathbb{E}[X^2 (\log|X|)^a (\log\log|X|)^{b-1}] < \infty$ である。最初の2つは繰り返し対数法則が適用可能であるために必要である。
• $\epsilon \downarrow 0$ の場合、$\epsilon^{2(b+1)} \sum_{n=1}^\infty \frac{( \log\log n)^b}{n\log n} \mathbb{P}(M_n \geq \sigma\phi(n)(\epsilon + a_n))$ の極限は $\frac{2}{(b+1)\sqrt{\pi}} \Gamma(b+3/2) \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)^{2b+2}}$ に等しく、無限級数を含む定数である。
• $|S_n|$ の $\epsilon \downarrow 0$ の場合の結果は、上記の半分である：$\frac{1}{(b+1)\sqrt{\pi}} \Gamma(b+3/2)$。再び、最大値と和の尾挙動の差を反映している。