[論文レビュー] Preclusion of switch behavior in reaction networks with mass-action kinetics

Elisenda Feliu, Carsten Wiuf|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2011

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 16被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、質量作用速度則を有する化学反応ネットワークにおける複数の正の定常状態の存在を排除するための直接的なヤコビアン基準を提示する。これは、独立した保存則を組み込んだ変更された種の生成速度関数の単射性を分析することにより達成される。この手法は、ヤコビアンの非消滅を基に単射性を決定し、そのヤコビアン行列式は濃度および速度定数の多項式である。この条件が満たされれば、多定常状態や退化した定常状態が存在しないことが保証される。

ABSTRACT

We provide a Jacobian criterion that applies to arbitrary chemical reaction networks taken with mass-action kinetics to preclude the existence of multiple positive steady states within any stoichiometric class for any choice of rate constants. We are concerned with the characterization of injective networks, that is, networks for which the species formation rate function is injective in the interior of the positive orthant within each stoichiometric class. We show that a network is injective if and only if the determinant of the Jacobian of a certain function does not vanish. The function consists of components of the species formation rate function and a maximal set of independent conservation laws. The determinant of the function is a polynomial in the species concentrations and the rate constants (linear in the latter) and its coefficients are fully determined. The criterion also precludes the existence of degenerate steady states. Further, we relate injectivity of a chemical reaction network to that of the chemical reaction network obtained by adding outflow, or degradation, reactions for all species.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、質量作用速度則を有する反応ネットワークに対して、複数の正の定常状態を排除する直接的な基準を提供することにある。
• 従来の手法が完全に開放された系にネットワークを変換することに依存するという限界を扱う。
• 目的は、ストイキオメトリッククラス内における正の象限で種の生成速度関数が単射であるネットワークを特徴付けることにある。
• 完全に開放されたネットワークを経由する必要を排除しつつ、退化した定常状態の検出能力を維持することを目的としている。
• 記号代数ソフトウェアを用いて計算的に実行可能で実装可能な手法を提供することを目的としている。

提案手法

• 本手法は、種の生成速度関数の一部の成分を独立した保存則に置き換えることにより、変更された関数を導入する。
• この変更された関数のヤコビアンを計算し、すべての正の濃度および速度定数においてその行列式が消えないかを分析する。
• 行列式は、種の濃度および速度定数の多項式であり、後者に関しては線形であり、その係数はネットワーク構造によって完全に決定される。
• 行列式が常に消えない場合、単射性が保証され、これはすべての係数が同じ符号を持つ（すべて正またはすべて負）ことを確認することで検証される。
• 本手法は、ネットワークを完全に開放された系に変換するのを避ける。代わりに、元のネットワーク構造に直接作業する。
• 本手法は、Mathematica などの記号計算ツールを用いて実装されており、ステップとしては、ストイキオメトリック行列の核空間の計算、変更された関数の構築、行列式およびその係数の符号の評価が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の反応ネットワークに対して、完全に開放されたネットワークへの変換に依存せずに、質量作用速度則を有する系で複数の正の定常状態を排除する直接的な基準を開発できるか？
• RQ2 保存則を組み込んだ変更された種の生成速度関数の単射性は、多定常状態および退化した定常状態の不在を保証するか？
• RQ3 関連する完全に開放されたネットワークが単射であるかどうかに依存せずに、ネットワークの単射性をどのように評価できるか？
• RQ4 変更された関数のヤコビアン行列式とネットワークの構造的性質との正確な関係は何か？
• RQ5 実用的応用のために、記号計算ソフトウェアを用いてこの基準を効率的に実装できるか？

主な発見

• 本稿では、反応ネットワークが単射であるための必要十分条件として、保存則を組み込んだ変更された関数のヤコビアン行列式が、任意の正の濃度ベクトルおよび任意の速度定数において消えないことが示された。
• 行列式は、種の濃度および速度定数の多項式であり、速度定数に関して線形であり、その係数はネットワーク構造によって完全に決定される。
• 行列式が常に消えない場合、任意のストイキオメトリッククラス内で、速度定数にかかわらず複数の正の定常状態が存在しないことが保証される。
• この基準は退化した定常状態の存在をも排除する：行列式が非ゼロであれば、すべての正の定常状態は非退化である。
• 本手法は、ネットワークを完全に開放された系に変換することなく、単射性を直接評価可能であり、従来の手法の主な限界を克服する。
• この基準は、記号代数ソフトウェアを用いて計算的に実装可能であり、行列式の係数の符号分析に基づく信頼性の高い手順が存在する。