[論文レビュー] Preconditioned Continuation Model Predictive Control

Andrew Knyazev, Yuta Fujii+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2015

Matrix Theory and Algorithms参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非線形最適制御のためのプリコンディショニング付き継続的NMPC（CNMPC）フレームワークを提案する。反復解法の収束を効率的なプリコンディショニングにより向上させるとともに、GMRESの代わりにMINRESを採用している。最小時間問題において、オンライン計算が著しく高速化され、制御品質が向上する。並列化可能なプリコンディショナーの構築により、現代のハードウェア上でリアルタイム適用が可能である。

ABSTRACT

Model predictive control (MPC) anticipates future events to take appropriate control actions. Nonlinear MPC (NMPC) describes systems with nonlinear models and/or constraints. A Continuation/GMRES Method for NMPC, suggested by T. Ohtsuka in 2004, uses the GMRES iterative algorithm to solve a forward difference approximation $Ax=b$ of the Continuation NMPC (CNMPC) equations on every time step. The coefficient matrix $A$ of the linear system is often ill-conditioned, resulting in poor GMRES convergence, slowing down the on-line computation of the control by CNMPC, and reducing control quality. We adopt CNMPC for challenging minimum-time problems, and improve performance by introducing efficient preconditioning, utilizing parallel computing, and substituting MINRES for GMRES.

研究の動機と目的

• 継続的NMPCを、終端制約と設計パラメータを有する最小時間最適制御問題に拡張すること。
• CNMPCで生じる悪条件な線形系におけるGMRESの収束遅延を解消するため、効果的なプリコンディショニングを導入すること。
• 反復的解法プロセスにおいてGMRESをMINRESに置き換えることで、計算効率を向上させ、メモリ使用量を削減すること。
• マルチコア、GPU、またはFPGAアーキテクチャに適した並列計算によるプリコンディショナーの構築により、リアルタイム実装を可能にすること。
• 困難な非線形最適制御シナリオにおいて、最小限の計算オーバーヘッドで制御品質が向上することを実証すること。

提案手法

• 終端制約と最適化パラメータを含めるようにCNMPC定式化を拡張し、時間最適制御問題への適用を可能にする。
• 各タイムステップで線形系 $Ax = b$ を前進差分近似により構築し、反復的Krylov部分空間法で解く。
• システム行列の条件数を低減するためのGMRES用プリコンディショナーを導入し、収束を加速する。
• GMRESをMINRESに置き換えることで、対称系においてメモリ要件を削減し、収束速度を向上させる。
• オンライン計算コストを最小限に抑えるため、並列化可能なプリコンディショナー構築アルゴリズムを提案する。
• 時間変動型プリコンディショナーを導入し、$t_p$ の間隔で再計算することで、精度と計算負荷のバランスをとる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プリコンディショニングは、非線形最適制御における継続的NMPCの反復解法の収束を顕著に高速化できるか？
• RQ2 GMRESをMINRESに置き換えることで、CNMPC応用における収束速度とメモリ使用量にどのような影響を与えるか？
• RQ3 プリコンディショナーの並列構築は、オンライン計算時間とリアルタイム制御の実現可能性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 提案手法は、終端制約と不等式制約を有する最小時間最適制御問題を効果的に解けるか？
• RQ5 プリコンディショナー再計算の頻度は、解の品質と計算効率にどのような影響を与えるか？

主な発見

• プリコンディショニングにより、GMRESの反復回数が最大許容値（10）から1または2まで著しく低下し、収束が顕著に加速される。
• $k_{\text{max}} = 1$ でプリコンディショナーを0.2秒ごとに更新した場合、近似的に最適な性能が達成され、強いロバストネスを示す。
• $k_{\text{max}}$ を2から10に増加させても、残差および $\|F\|$ の改善は僅かであり、中程度の反復回数を超えると収束効果の逓減が顕著になる。
• $t_p = 0.4$ 秒、$k_{\text{max}} = 2$ のプリコンディショニング付きGMRESは、非プリコンディショニングGMRESと比較して反復回数を5倍に削減し、同程度またはより優れた解の品質を達成する。
• GMRESの代わりにMINRESを使用することで、メモリ要件が削減され、収束速度が向上し、特に大規模またはリアルタイムシステムにおいて顕著な利点を示す。
• 並列プリコンディショナー構築により、マルチコア、GPU、またはFPGAプラットフォーム上でも効率的な実装が可能となり、高速制御応用に適した手法となる。