[論文レビュー] Preconditioned Recycling Krylov subspace methods for self-adjoint problems

André Gaul, Nico Schlömer|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2012

Matrix Theory and Algorithms参考文献 46被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非線形シュレーディンガー方程式やギンツブルグ＝ランダウ方程式に対して、最大40％の解法時間短縮を実現する、自己随伴線形連立一次方程式の系列に対するプリコンディショニング付きリサイクルKrylov部分空間法を提案する。この手法は、MINRES反復から抽出されたリーツ固有ベクトルを用いて、以降の解法で収束した固有モードをデフラスする。任意の自己随伴正定値プリコンディショナーと非ユークリッド内積をサポートし、解法時間を大幅に短縮する。

ABSTRACT

The authors propose a recycling Krylov subspace method for the solution of a sequence of self-adjoint linear systems. Such problems appear, for example, in the Newton process for solving nonlinear equations. Ritz vectors are automatically extracted from one MINRES run and then used for self-adjoint deflation in the next. The method is designed to work with arbitrary inner products and arbitrary self-adjoint positive-definite preconditioners whose inverse can be computed with high accuracy. Numerical experiments with nonlinear Schrödinger equations indicate a substantial decrease in computation time when recycling is used.

研究の動機と目的

• 非線形問題におけるニュートン反復における自己随伴線形連立一次方程式の系列の解法の非効率性を解消すること。
• 既存のリサイクル手法がプリコンディショナーの種別を制限するか、特定の内積を要件とするという制限を克服すること。
• 一般の自己随伴正定値プリコンディショナーと任意の内積を許容することで、特に非コレスキー型のプリコンディショナーを含む広範なクラスのプリコンディショナーの使用を可能にすること。
• デフラスをKrylovソルバーから分離したモジュラーなフレームワークを構築し、既存のMINRES実装に簡単に統合可能にする。
• 非線形偏微分方程式（特に非線形シュレーディンガー方程式やギンツブルグ＝ランダウ方程式）における実用的課題において、顕著な実行時間短縮を示すこと。

提案手法

• リーマンズ三重対角化を用いて、1回のMINRES走行からリーツ固有ベクトルを抽出し、スぺクトル情報を暗黙的に捉える。
• プリコンディショナー加重内積を用いて定義されるデフラス作用素により、線形系をリーツ部分空間の直交補空間に射影する。
• 一般内積を用いてデフラス系を定式化することで、任意のプリコンディショナーに対しても対称性と自己随伴性を保持する。
• 射影された系にMINRESを適用し、三項再帰を維持するとともに、GMRESで必要な完全直交化を回避する。
• デフラスフレームワークをKrylov法から独立させることで、既存のMINRESコードにラッピングする形で実装可能にする。
• プリコンディショナーの逆行列を用いてリサイクルベクトルを直交化することで、非標準的プリコンディショナーでも安定したデフラスを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1回のMINRES走行から抽出したリーツ固有ベクトルは、自己随伴線形連立一次方程式の系列における以降の解法を効果的に高速化できるか？
• RQ2 コレスキー分解型のプリコンディショナー（例：CCT）を越えて、より広いクラスのプリコンディショナーをサポートしつつ、対称性と収束性を保持できるか？
• RQ3 非ユークリッド内積の使用が、Krylov法におけるリサイクルの安定性と効率性に与える影響はいかほどか？
• RQ4 ギンツブルグ＝ランダウ方程式のような非線形PDEにおいて、デフラスの収束性と残差低減に与える影響は？
• RQ5 デフラスにより、特異的または悪条件な系を自然に扱えるか。数値的不安定性を回避できるか？

主な発見

• 数値実験により、ギンツブルグ＝ランダウ方程式において、有効な解法時間を最大40％短縮できた。
• デフラスは線形化系に内在する特異性を効果的に処理し、リサイクルなしでは発生する数値的破綻を防ぐ。
• 本手法は、代数的多重グリッド法など、非コレスキー型の手法も含む、任意の自己随伴正定値プリコンディショナーをサポートする。
• MINRESの三項再帰を維持し、GMRESで必要な完全直交化の計算コストを回避する。
• 有限精度計算における収束停滞は、直交性の喪失に起因しないことが、再直交化実験で確認された。
• フレームワークはモジュラーであり、既存のMINRESコードにラッパーとして適用可能で、変更なしに最適化済みソルバーを再利用可能である。