[論文レビュー] Preconditioning for the Geometric Transportation Problem

Andrey Boris Khesin, Aleksandar Nikolov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Optimization and Mathematical Programming参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、固定次元における幾何的輸送問題に対する最初のほぼ線形時間 (1+ε)-近似アルゴリズムを提示する。一般化された事前条件付けと幾何的スパース化を組み合わせることで、問題をスパースな最小費用流インスタンスに還元する。アルゴリズムの実行時間は n に対してほぼ線形であり、ε⁻¹ および log(total supply) に対して多項式的であり、従来の手法に比べ顕著な改善を示す。

ABSTRACT

In the geometric transportation problem, we are given a collection of points $P$ in $d$-dimensional Euclidean space, and each point is given a supply of $μ(p)$ units of mass, where $μ(p)$ could be a positive or a negative integer, and the total sum of the supplies is $0$. The goal is to find a flow (called a transportation map) that transports $μ(p)$ units from any point $p$ with $μ(p) > 0$, and transports $-μ(p)$ units into any point $p$ with $μ(p) < 0$. Moreover, the flow should minimize the total distance traveled by the transported mass. The optimal value is known as the transportation cost, or the Earth Mover's Distance (from the points with positive supply to those with negative supply). This problem has been widely studied in many fields of computer science: from theoretical work in computational geometry, to applications in computer vision, graphics, and machine learning. In this work we study approximation algorithms for the geometric transportation problem. We give an algorithm which, for any fixed dimension $d$, finds a $(1+\varepsilon)$-approximate transportation map in time nearly-linear in $n$, and polynomial in $\varepsilon^{-1}$ and in the logarithm of the total supply. This is the first approximation scheme for the problem whose running time depends on $n$ as $n\cdot \mathrm{polylog}(n)$. Our techniques combine the generalized preconditioning framework of Sherman, which is grounded in continuous optimization, with simple geometric arguments to first reduce the problem to a minimum cost flow problem on a sparse graph, and then to design a good preconditioner for this latter problem.

研究の動機と目的

• d次元空間におけるエアス・ムーバーズ・ディスタンス（Earth Mover's Distance）を最小化する幾何的輸送問題の高速近似アルゴリズムの開発。
• 従来の O(n².⁵) および O(n²) のアルゴリズムに比べ、点の数 n に対してほぼ線形の実行時間の達成。
• ユニット供給に限定されない一般の整数供給関数に対応する手法の設計。これにより、従来の特殊ケースに限られた結果の拡張が可能となる。
• ε⁻¹ および総供給の対数のスケーリングに伴うアルゴリズムの効率性を保証し、機械学習やコンピュータビジョンにおける実用的応用を可能にする。

提案手法

• 本稿では、距離を (1+ε) 要因以内に保つ well-separated pair decompositions (WSPDs) を用いて、幾何的輸送問題をスパースなグラフ上の最小費用流問題に還元する。
• 最小費用流問題を効率的に解くために、Sherman の一般化された事前条件付けフレームワークを適用し、連続最適化技術を活用する。
• 一様なフロー整合性を維持しながらフローサポートのサイズを削減し、コストを保持する新たな「キャンセレーション手順」を導入。これにより、出力が有効な輸送マップとなることが保証される。
• フローサポートのサイズを削減しながら、コストバウンドを維持するため、ネット点を細分化から粗分化のレベルに段階的に処理する。
• 隣接リストを用いたスパース表現により、キャンセレーション手順の各イテレーションで定数時間の操作が可能となる。
• WSPD スパース化と階層的フロー補正を組み合わせることで、合計実行時間がほぼ線形に抑えられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の供給関数に対して、幾何的輸送問題の (1+ε)-近似をほぼ線形時間で計算可能か？
• RQ2 連続最適化から得られる事前条件付け技術を、幾何的構造を持つ離散的幾何フロー問題にどのように適応できるか？
• RQ3 非ゼロフローエッジの数を削減しながらも、有効な輸送マップを維持し、コストバウンドを保つことは可能か？
• RQ4 幾何的輸送問題において、元となるグラフのスパarsity と近似品質の最適なトレードオフは何か？
• RQ5 n に対してほぼ線形の実行時間でありながら、ε⁻¹ および log(total supply) に対して多項式的であるように実行時間を調整可能か？

主な発見

• アルゴリズムは、固定された d に対して n に対してほぼ線形時間 O(nε⁻d log(∆) + ε⁻²d log(∆)) で (1+ε)-近似を達成する。
• 実行時間は ε⁻¹ に対して多項式的、総供給の対数に対して対数的であり、大規模インスタンスに対しても効率的である。
• スパースグラフ上のフローから有効な輸送マップが構築され、すべての供給および需要制約が満たされる。
• キャンセレーション手順は、フロー整合性とコストバウンドを維持しながら、非ゼロエッジの数を削減する。
• ネット点の階層的処理により、合計実行時間が提示されたほぼ線形の式で抑えられる。
• 従来のアルゴリズムに比べ、n に対する多項式的依存が高かったり、ユニット供給に限定されていたりする点で、本手法は顕著な改善を示す。