[論文レビュー] Preconditioning of a hybridized discontinuous Galerkin finite element method for the Stokes equations

Sander Rhebergen, Garth N. Wells|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 26被引用数 44

ひとこと要約

本稿では、ストークス方程式に適用されたハイブリッド非連続ガラーキン（HDG）有限要素法に対して、静的縮約を用いてグローバルなシステムサイズを低減する最適な前処理行列を提示する。圧力シュール補完行列と質量行列の間のスペクトル同等性を証明することで、反復回数がメッシュサイズに依存しないブロック対角型およびブロック対称ガウス＝ザイデル型前処理行列を構築した。2次元および3次元の大規模問題においてスケーラビリティを保証する。

ABSTRACT

We present optimal preconditioners for a recently introduced hybridized discontinuous Galerkin finite element discretization of the Stokes equations. Typical of hybridized discontinuous Galerkin methods, the method has degrees-of-freedom that can be eliminated locally (cell-wise), thereby significantly reducing the size of the global problem. Although the linear system becomes more complex to analyze after static condensation of these element degrees-of-freedom, the pressure Schur complement of the original and reduced problem are the same. Using this fact, we prove spectral equivalence of this Schur complement to two simple matrices, which is then used to formulate optimal preconditioners for the statically condensed problem. Numerical simulations in two and three spatial dimensions demonstrate the good performance of the proposed preconditioners.

研究の動機と目的

• ハイブリッド非連続ガラーキン（HDG）法によるストークス方程式の離散化から生じる静的縮約された線形システムに対する効率的な反復解法の開発。
• 前処理行列の性能がメッシュサイズに依存しないようにすることで、解法プロセスのスケーラビリティを確保すること。
• 局所的質量保存、点ごとの発散自由な速度、エネルギー安定性といったHDG法の主要な性質を保ちつつ、縮約されたシステムの効率的解法を可能にすること。
• 異なる多項式次数およびメッシュタイプ（単体型、四角形、六面体）においても最適収束率を維持する前処理行列の解析と数値的妥当性の検証。

提案手法

• セル単位の速度自由度を除去する静的縮約を適用し、グローバル問題のサイズを縮小するとともに、圧力シュール補完行列を保持する。
• 先行研究における有界性およびインフラ・インフラ安定性の結果を用いて、圧力シュール補完行列と離散質量行列の間のスペクトル同等性を証明する。
• 2種類のブロック対角型前処理行列を構築する：1つはシュール補完行列から導出されたスペクトル同等行列Cに基づくもの、もう1つは圧力質量行列Mに基づくもの。
• システム行列の構造と代数的多重グリッド（AMG）による近似逆行列を用いて、ブロック対称ガウス＝ザイデル型前処理行列を構築する。
• Vサイクルを用いたAMGにより逆演算子（例：¯R−1、M−1、C−1）を近似し、前処理および後処理ステップでガウス＝ザイデル smoother を適用する。
• MFEM で実装し、PETSc のソルバーとBoomerAMGを用いて代数的多重グリッドを実装し、非構造格子および構造格子における数値的検証を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 静的縮約されたHDGストークスシステムに対して、メッシュサイズに依存しない収束を保証する最適な前処理行列を構築できるか？
• RQ2 縮約されたシステムのシュール補完行列が、質量行列とスペクトル的に同等であるまま保たれるか？これにより効率的な前処理が可能になるか？
• RQ3 異なるメッシュタイプおよび多項式次数において、ブロック対角型およびブロック対称ガウス＝ザイデル型前処理行列の性能はどのように比較されるか？
• RQ4 同じ前処理行列を用いた場合、右前処理のGMRESが左前処理のMINRESに比べて反復回数が少ないか？
• RQ5 提案された前処理行列は、高次多項式近似および複雑な幾何形状（例：ドア駆動キャビティ流れ）に対しても、2次元および3次元においてロバスト性を保つことができるか？

主な発見

• 静的縮約されたHDGシステムのシュール補完行列は、離散的圧力質量行列とスペクトル的に同等であることが示され、既存の前処理理論の適用が可能になった。
• スペクトル同等行列Cに基づくブロック対角型前処理行列は、2次元および3次元の両方で、メッシュサイズに依存しない収束を達成し、メッシュの細分化にかかわらず反復回数が安定した。
• 3次元単体型メッシュ（1,789,952 DOFs）において、¯PC前処理行列は10−8の残差許容誤差に到達するまでにたった96回のMINRES反復を要した。
• 右前処理のGMRESは、左前処理のMINRES（153反復）から37反復にまで削減され、顕著な性能向上が確認された。
• ブロック対称ガウス＝ザイデル型前処理行列¯PSGS_Cは、最大の単体型メッシュにおいて2次元で102反復、3次元で153反復を要し、問題サイズにかかわらずロバストであることが示された。
• 圧力質量行列Mに基づく前処理行列はCに基づくものに比べて性能が劣り、Cを用いた対称ガウス＝ザイデル型のバリエーションはMを用いた場合に比べて利点を示さなかった。