[論文レビュー] Preconditioning of weighted H(div)-norm and applications to numerical simulation of highly heterogeneous media

Johannes Kraus, Raytcho Lazarov+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、高機能不均質媒体における2階楕円問題の混合有限要素離散化に対して、追加的シュール補行列近似を用いた補助空間 multigrid (ASMG) 法に基づく、ロバストな代数的多重レベルスホイジングを提案する。この手法はメッシュサイズや物性対比に依存しない最適収束性を達成しており、SPE10を含むベンチマーク問題において数値的に検証された。

ABSTRACT

In this paper we propose and analyze a preconditioner for a system arising from a finite element approximation of second order elliptic problems describing processes in highly het- erogeneous media. Our approach uses the technique of multilevel methods and the recently proposed preconditioner based on additive Schur complement approximation by J. Kraus (see [8]). The main results are the design and a theoretical and numerical justification of an iterative method for such problems that is robust with respect to the contrast of the media, defined as the ratio between the maximum and minimum values of the coefficient (related to the permeability/conductivity).

研究の動機と目的

• 高機能不均質多孔質媒体における楕円問題の混合有限要素離散化から生じる巨大で不定な saddle-point システムを解く課題に対処する。
• 極端な物性係数の変動（高対比）に対しても有効かつ効率的なスホイジングを構築する。
• メッシュの細分化（h）および係数対比（κ）の両方に対してロバスト性を確保すること。これは、石油工学や環境モデリング分野における現実的なシミュレーションにおいて極めて重要である。
• チャネルやインクルージョンを含むマルチスケール特徴を持つ、SPE10 ベンチマークのような複雑で現実的なベンチマークでの検証を実施する。
• 複数のメッシュレベルにおけるスケーラビリティと一様収束性を示し、総計算作業量が自由度に線形にスケールすることを保証する。

提案手法

• 速度に Raviart-Thomas RT0 要素、圧力に連続定数関数を用いた混合有限要素法による問題定式化を行う。
• スaddle-point 形式のブロック構造線形システムを構築する：[M_α -B_div^T; -B_div 0][u; p] = [0; f]、ここで M_α は重み付き H(div) 内積を表す。
• 追加的シュール補行列近似に基づく、代数的多重レベル反復（AMLI）サイクル補助空間 multigrid（ASMG）スホイジングを適用する。
• ASMG ソルバでは、W-サイクルスモージングに前処理および後処理の各1ステップを用い、グローバルシステムには MinRes を Krylov 反復法として採用する。
• 係数 k(x) を通じて重み付き H(div) ノルムを導入し、この重みの変動に対してもスホイジングがロバストであるように設計する。
• 離散的 Poincaré 不等式と多重スケール移行作用素を活用し、スケール間の一様収束性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メッシュの細分化および極端な物性対比の両方に対して収束性がロバストであるスホイジングを設計することは可能か？
• RQ2 本稿で提案する ASMG スホイジングは、マルチスケール特徴を有する現実的で複雑なベンチマーク（例：SPE10 問題）において、どのように性能を発揮するか？
• RQ3 追加的シュール補行列近似と AMLI-サイクル multigrid の組み合わせは、高対比 H(div) 問題に対して一様収束性を達成するか？
• RQ4 非線形スモージングおよび V-サイクル対 W-サイクルの設定が、残差低減および反復回数に与える影響は何か？
• RQ5 右辺がゼロでない場合、理論的仮定を越えてスホイジングの有効性はどの程度維持されるか？

主な発見

• 提案された ASMG スホイジングは MinRes ソルバに対してロバストな収束性を示し、MinRes と ASMG の反復回数の積がメッシュレベルにかかわらずほぼ一定に保たれた。
• SPE10 ベンチマーク（ケース [c]）において、自由度が 3,136 から 787,456 に増加しても、MinRes の反復回数は 13 から 18 に僅かに増加した。これはスケーラビリティを示している。
• 1つのスモージングステップを有する ASMG W-サイクルは、すべてのテストケース（高対比ケース [a] および [b] を含む）で一様収束性を達成した。反復回数は各レベルで安定していた。
• スモージングステップをゼロにした（m=0）非線形 ASMG V-サイクルでさえ、SPE10 ケースにおいてロバストな収束性を示した。これにより、本手法の耐障害性が確認された。
• 重み付きノルム ‖π_D̃‖²_Ã に対する数値的境界から、スホイジングされた系の条件数がメッシュサイズおよび対比に依存しないことが確認された。
• 計算作業総量（細粒度マトリクス・ベクトル積として測定）は自由度に線形にスケールし、最適な計算複雑性が確認された。