[論文レビュー] Preconditioning rectangular spectral collocation

Kui Du|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2015

Matrix Theory and Algorithms参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般の線形制約を伴う高次の微分方程式において生じる線形方程式系の重度の悪条件性に対処するため、長方形スペクトルコロケーション（RSC）スキームにための擬スペクトル積分前処理法を導入する。Birkhoff型補間に基づく前処理行列を構築することにより、システムの条件数をコロケーション点数に依存させず、GMRESなどの反復解法を用いた高速収束を実現する。これは、Nが大きくても数回の反復で収束する。

ABSTRACT

Rectangular spectral collocation (RSC) methods have recently been proposed to solve linear and nonlinear differential equations with general boundary conditions and/or other constraints. The involved linear systems in RSC become extremely ill-conditioned as the number of collocation points increases. By introducing suitable Birkhoff-type interpolation problems, we present pseudospectral integration preconditioning matrices for the ill-conditioned linear systems in RSC. The condition numbers of the preconditioned linear systems are independent of the number of collocation points. Numerical examples are given.

研究の動機と目的

• コロケーション点数Nの増加に伴い、長方形スペクトルコロケーション（RSC）法における線形方程式系の極端な悪条件性に対処すること。
• 得られる線形方程式系の条件数がNに依存しない前処理行列を構築し、安定的かつ効率的な反復的解法を保証すること。
• 従来の標準的スペクトルコロケーションに用いられてきた擬スペクトル積分前処理フレームワークを、任意の線形制約を伴うより一般的な長方形スペクトルコロケーション設定に拡張すること。
• 数値的に、前処理を施したRSCスキームが、Nに依存せず高い精度を維持し、剛性または高周波数的振動を示す問題に対しても高速に収束することを示すこと。

提案手法

• m階微分作用素とm個の一般線形制約を伴う離散化作用素の正確な逆行列として機能する、擬スペクトル積分行列をBirkhoff型補間問題によって定義する。
• チェビシェフ第一種点（微分評価用）と第二種点（コロケーション点用）の間のバーリセントリック再サンプリング行列を用いて右前処理行列を構築し、安定性と精度を確保する。
• 関数値をコロケーション点で評価し、別個の点での微分値に写像する長方形微分行列 D^{(m)}_{x→y} を用いることで、m階微分作用素の安定な離散化を実現する。
• 擬スペクトル積分行列をRSCシステムの右前処理行列として用い、元の悪条件性を持つシステムをNに依存しない条件数で有界なシステムに変換する。
• 相対誤差許容値1e-10、リスタート回数40を設定したGMRES反復解法を用いて前処理済みシステムを解き、数回の反復で収束を保証する。
• コロケーション点に第二種チェビシェフ点、微分評価点に第一種チェビシェフ点を用いることで、スペクトル精度と条件数の最適化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コロケーション点数Nの増加に伴っても、RSC線形方程式系の条件数が有界のまま保たれるような前処理行列を構築可能か？
• RQ2 本稿で提案する前処理戦略は、一般の線形制約を伴う剛性または高周波数的振動を示す微分方程式に対してどのように性能を発揮するか？
• RQ3 擬スペクトル積分前処理フレームワークを、標準的スペクトルコロケーションから任意の線形制約を伴う長方形スペクトルコロケーション設定へ一般化可能か？
• RQ4 前処理が、高次のODE問題における反復解法（例：GMRES）の収束速度に及ぼす影響は何か？

主な発見

• a_0(x)=2x と制約 (5.2) を伴うRSCにおいて、前処理済みシステムの条件数はNに依存せず、ほぼ一定の3.19を維持するが、非前処理済みシステムはO(N^{2.5})の割合で増加する。
• ε=0.01の2階問題において、非前処理済みRSCの条件数はO(N^{4.5})で増加し、N=1024で4.84e+11に達するが、前処理済みシステムはNに依存せず3.70e+05を維持する。
• ε=1の場合、P-RSCはN=1024でもGMRESがたった8反復で収束するが、非前処理済みRSCは1000反復内でも収束しない。
• ε=0.01の場合、P-RSCはN=1024で67反復で収束するが、非前処理済みRSCは1000反復内でも収束しない。これにより、前処理の必要性が明確に示される。
• P-RSCの最大点ごとの誤差は、すべてのNおよびεの値で1e-13～1e-15のオーダーに保たれ、高い数値的精度を示している。
• N=2200における正確解と数値解の比較から、高周波数的振動解に対しても本手法が高い精度と安定性を発揮することが示された。