[論文レビュー] Preconditioning the Restarted and Shifted Block FOM Algorithm for Matrix Exponential Computation

Gang Wu, Hong‐Kui Pang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2014

Matrix Theory and Algorithms参考文献 67被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$ A $ が大規模なスパース行列で $ B $ がブロックベクトルであるとき、$ e^{tA}B $ を効率的に計算するための、プリコンディショニングされ、リスタート付きでシフトされたブロックFOMアルゴリズム（PSBFOM-DR）を提案する。カルタゴリ・フェージェル近似の中程度の大きさの極を活用することで、リスタート時に実数演算と構造を保ちながら、すべてのシフトされた線形系を同時にプリコンディショニングした。その結果、特に大規模なトーペリッツ行列に対して、最先端の手法よりも優れた収束性と精度を達成した。

ABSTRACT

The approximation of $e^{tA}B$ where $A$ is a large sparse matrix and $B$ a rectangular matrix is the key ingredient in many scientific and engineering computations. A powerful tool to manage the matrix exponential function is to resort to a suitable rational approximation such as the Carath$\acute{ m e}$odory-Fej$\acute{ m e}$r approximation, whose core reduces to solve shifted linear systems with multiple right-hand sides. The restarted and shifted block FOM algorithm is a commonly used technique for this problem. However, determining good preconditioners for shifted systems that preserve the original structure is a difficult task. In this paper, we propose a new preconditioner for the restarted and shifted block FOM algorithm. The key is that the absolute values of the poles of the Carath$\acute{ m e}$odory-Fej$\acute{ m e}$r approximation are medium sized and can be much smaller than the norm of the matrix in question. The advantages of the proposed strategy are that we can precondition all the shifted linear systems simultaneously, and preserve the original structure of the shifted linear systems after restarting. Theoretical results are provided to show the rationality of our preconditioning strategy. Applications of the new approach to Toeplitz matrix exponential problem are also discussed. Numerical experiments illustrate the superiority of the new algorithm over many state-of-the-art algorithms for matrix exponential.

研究の動機と目的

• 大規模なスパース行列に対して $ e^{tA}B $ を効率的に計算するという挑戦に応えること。これは指数積分法や偏微分方程式の分野で重要な問題である。
• 複数の右辺を伴うシフトされた線形系に対して、構造を保つプリコンディショナーを見つける難しさを克服すること。
• リスタート時に実数演算とブロック構造を維持しつつ、すべてのシフトされた線形系を同時にプリコンディショニングできる手法を開発すること。
• 特にノルムが非常に大きなトーペリッツ行列に対して、大規模な問題における収束性と精度を向上させること。

提案手法

• 行列指数の計算を、複数の右辺を伴う複数のシフトされた線形系の解法に還元するために、カルタゴリ・フェージェル有理近似を用いる。
• 近似における極の絶対値が $ \|A\| $ よりもはるかに小さいという観察に基づき、効果的なプリコンディショナーを構築する。
• プリコンディショナーをすべてのシフトされた線形系に同時に適用することで、ブロック構造を保持し、複素数のシフトであっても実数演算を維持できる。
• リスタート付きブロックFOM（FOM）アルゴリズムを用いてプリコンディショニングされた線形系を解き、収束性を向上させるためにデフラッギング技術を導入する。
• プリコンディショナーの対称性とシフトの構造を活用することで、直交基底が実数演算で構築されることを保証する。
• トーペリッツ行列に対しては、ゴフベルグ＝ゼメンクルの公式によりFFTを介した高速な行列-ベクトル積が可能となり、解法プロセスの高速化が図れる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列指数計算に伴うすべてのシフトされた線形系に対して、同時に収束性を向上させつつ、元の行列構造を保つプリコンディショナーを設計できるか？
• RQ2 カルタゴリ・フェージェル近似における中程度の大きさの極をどのように活用し、効果的で構造を保つプリコンディショナーを構築できるか？
• RQ3 シフトが複素数であっても、FOM反復中に実数演算を維持できるか。リスタート後に高価な複素数演算を回避できるか？
• RQ4 大規模なトーペリッツ行列に対して、プリコンディショニング付きリスタート付きブロックFOMアルゴリズムは、シフト・アンド・インバース・アーノルド法やKrylovベースのソルバーと比較して、性能に優れているか？
• RQ5 標準的手法が失敗するほど $ \|A\| $ が非常に大きな場合でも、本手法は高い精度と高速な収束性を達成できるか？

主な発見

• $ n = 2 \times 10^5 $ の大規模なトーペリッツ行列に対して、PSBFOM-DRはシフト・アンド・インバース・アーノルド法やブロックアーノルド法よりも著しく高速に収束し、同じ精度を達成するための反復回数が少ない。
• $ n = 5 \times 10^4 $ から $ 2 \times 10^5 $ の範囲では、PSBFOM-DRは収束しなかったexpv、phipm、funm_Kryl、expmvを上回り、$ A $ のノルムが大きいために収束不能となった。
• 複素数のシフトであっても、FOMプロセス全体を通して実数演算を維持し、リスタート後の高価な複素数線形代数を回避した。
• プリコンディショナーはすべてのシフトされた線形系を同時に処理し、ブロック構造を損なわず、収束性を向上させた。
• 数値実験の結果、PSBFOM-DRは $ m = 30 $ のKrylov部分空間次元で高い精度を達成したが、SI-ArnoldiおよびSI-BArnoldiは同程度の部分空間サイズを得るためには $ m = 60 $ 必要だった。
• FFTとGohberg-Semenculの公式を用いた高速なトーペリッツ行列-ベクトル積の利用により、効率的な実装が可能となり、非常に大規模な行列へのスケーラビリティが実現された。