[論文レビュー] Predators-Prey models with competition Part.1 : Existence, Bifurcation and qualitative properties

Henri Berestycki, Alessandro Zilio|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2017

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 18被引用数 16

ひとこと要約

本稿は捕食者-被捕食者系の反応拡散モデルを検討し、捕食者間の競争を含むもので、解の存在、一意性、および漸近的挙動を証明している。強い競争は共存する捕食者群の数を制限することが示され、驚くべきことに、最適な全捕食者個体数は均一なグループからではなく、複数の競争的で攻撃的な捕食者サブグループから生じることが分かった。

ABSTRACT

International audience

研究の動機と目的

• 自己利益志向で協力しない捕食者の行動が、生態系における領域性をどのように生じさせるかを理解すること。
• 競合する捕食者と被捕食者を含む反応拡散モデルにおける解の存在、一意性、および長期的挙動を分析すること。
• 複数の捕食者群が共存できる条件と、全捕食者個体数が最大になる条件を特定すること。
• 競争強度（β）が空間的分離と個体数分布をどのように形作るかを調査すること。
• 最適な捕食者個体数が、均一なグループであるか、それとも競争的で攻撃的なサブグループから生じるかを検討すること。

提案手法

• Lotka-Volterra型の力学とグループ間競争を含む、捕食者（u）およびN個の捕食者群（w1,…,wN）をモデル化する放物型偏微分方程式系を定式化する。
• 分岐解析を用いて、特に強い競争（大きなβ）の下で、非定常な定常解の豊富な集合が存在することを示す。
• 一様推定と漸近的解析を適用し、β → +∞ の極限における解の性質を記述し、解が分離構成に収束することを示す。
• 比較原理と固有値推定を用いて、極端な競争および高い捕食率の下での解の挙動を分析する。
• 変分法と最適化技術を用いて、全捕食者個体数 ∫Ω∑wi を最大化する解を特定する。
• エネルギー推定と弱収束・強収束の議論を用いて、高競争または高い捕食率の極限における捕食者密度の消滅を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 競合する捕食者群を有する捕食者-被捕食者系において、非定常な定常解が存在する条件は何か？
• RQ2 競争強度βを増加させると、共存する捕食者群の数とその空間的分布にはどのような影響を与えるか？
• RQ3 複数の競合する捕食者サブグループを有する配置が、単一の均一なグループよりも全捕食者個体数を最大化できるか？
• RQ4 与えられた領域における共存する捕食者群の数の上限は何か？また、生態的パラメータにどのように依存するか？
• RQ5 捕食者間の強い競争は空間的分離を引き起こすか？β → +∞ の極限において、これを正確に記述できるか？

主な発見

• 十分に大きな競争強度β > β̄に対して、方程式の解は定数（かつ小さい）であるか、または高々N̄ + 1個の非自明な成分を持つ。ここで、N̄ ≲ |Ω|/(4π) max_i (λki − μωi)/diμ は2次元におけるものである。
• β → +∞ の極限において、解は捕食者群が互いに重ならない領域を占める分離構成に収束し、極限解は厳密に定義可能である。
• 攻撃的で強い競争（高いβ）は、外国の捕食者群の侵入を防ぎ、局所的安定性を高める。
• 全捕食者個体数∫Ω∑wiは、単一の均一な捕食者群によってではなく、2つ以上の競合する捕食者サブグループを有する配置によって最大化される。特に、領域が長方形でμが小さい場合に顕著である。
• 強い競争および高い捕食率の下で、捕食者密度wnと被捕食者密度unは、パラメータの設定に応じて一様にゼロに収束するか、定数状態に収束する。
• 解析により、競争下での最適な捕食者個体数構成は、複数の互いに攻撃的な捕食者群を必要とすることが証明され、競争が全捕食者個体数の増加に寄与することが示された。