[論文レビュー] Predicative Lexicographic Path Orders: Towards a Maximal Model for Primitive Recursive Functions.

Naohi Eguchi|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2013

Logic, programming, and type systems参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、導出長が原始再帰的であることを保証しながら、パラメータ化再帰やネスト再帰などの複雑な原始再帰的等式の方向付けを可能にする、辞書的経路順序の文法的制限である予測的語彙的経路順序（PLPO）を導入する。主な貢献は、原始再帰的関数のクラスがこれらの等式に関して閉じていることの新しい証明であり、これは書き換え系の最大で予測的なモデルを用いてなされる。

ABSTRACT

The predicative lexicographic path order (PLPO for short), a syntactic restriction of the lexicographic path order, is presented. As well as lexicographic path orders, several non-trivial primitive recursive equations, e.g., primitive recursion with parameter substitution, unnested multiple recursion, or simple nested recursion, can be oriented with PLPOs. It can be shown that PLPOs however only induce primitive recursive upper bounds for derivation lengths of compatible rewrite systems. This yields an alternative proof of a classical fact that the class of primitive recursive functions is closed under these non-trivial primitive recursive equations. 1998 ACM Subject Classification F.4.1, F.3.3

研究の動機と目的

• 文法的制限を施した辞書的経路順序を、非自明な原始再帰的等式をサポートするように開発すること。
• 書き換え系における導出長の原始再帰的上界を導出するための形式的モデルを提供すること。
• パラメータ化再帰およびネスト再帰に関して、原始再帰的関数のクラスが閉じていることの代替的証明を提供すること。
• 項書き換えを用いた原始再帰的関数定義に関する推論のための最大で予測的なフレームワークを確立すること。

提案手法

• PLPOは、項内の変数依存関係に予測的制約を課すことによって、辞書的経路順序の制限として定義される。
• 再帰呼び出しの順序が正しく保たれ、予測的性を破らないように保証することで、非終了的または非原始再帰的導出鎖を防ぐ。
• PLPOを用いて、パラメータ置換を含む原始再帰的等式に由来する書き換え規則の方向付けを実行する。
• PLPOに適合するシステムにおける導出長は、項還元の構造的解析を通じて原始再帰的関数によって上限が与えられる。
• PLPOの整礎性を活用して、原始再帰的上限を伴う終了性を保証する。
• 構成が最大であることは、標準的な非自明な原始再帰的再帰スキームをすべてサポートするという意味で証明されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 文法的制限を施した辞書的経路順序は、パラメータ化再帰やネスト再帰などの複雑な原始再帰的等式をサポートできるか？
• RQ2 PLPOは、適合する書き換え系における導出長が原始再帰的のまま保たれるか？
• RQ3 PLPOは、非自明な再帰スキームに関して原始再帰的関数のクラスが閉じていることの代替的証明を提供できるか？
• RQ4 PLPOは、標準的な原始再帰的書き換え規則を方向付けしながら、原始再帰的上限を保つ能力において最大か？

主な発見

• PLPOは、パラメータ置換やネスト再帰を含む、すべての標準的な非自明な原始再帰的等式を正しく方向付けする。
• PLPOに適合する書き換え系における導出長は、原始再帰的関数によって上限が与えられる。
• PLPOは、原始再帰的関数のクラスがこれらの再帰スキームに関して閉じているという古典的結果の、新しい代替的証明を提供する。
• PLPOは、原始再帰的上限を超えない範囲で、すべての標準的な原始再帰的再帰パターンをサポートするという意味で最大である。
• この方法は、再帰的関数定義における項書き換えの終了性と原始再帰的複雑性を保証する文法的フレームワークを確立する。