[論文レビュー] Predicativity and parametric polymorphism of Brouwerian implication

Mark van Atten|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2017

Quantum Mechanics and Applications参考文献 48被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、種の関数におけるパラメトリック多相性を通じて、ブールの直観的含意が予言的であると主張している。これは、直観的論理における非予言的性の一般的な批判に反論するものである。本論文は、含意の関数的解釈が、証明の全体にわたる量化ではなく、Canonical（標準的）で直観的に与えられた構成に依拠することで、悪質な循環を回避することを示している。

ABSTRACT

A common objection to the definition of intuitionistic implication in the Proof Interpretation is that it is impredicative. I discuss the history of that objection, argue that in Brouwer's writings predicativity of implication is ensured through parametric polymorphism of functions on species, and compare this construal with the alternative approaches to predicative implication of Goodman, Dummett, Prawitz, and Martin-Löf.

研究の動機と目的

• 証明解釈における直観的含意が、長年にわたり非予言的であるとされる批判に応えること。
• ブールの含意の概念が、種の関数におけるパラメトリック多相性によって悪質な循環を回避することを示すこと。
• グッドマン、ダンケット、プリューヴィッツ、マーチン・ローフによる代替的予言的解釈と比較すること。
• 直観的数学における証明と関数の本体的状態を明確にすること。特に、それらが全的でない、構成的性質であることを強調すること。
• 証明の定義が事前に存在する証明の全体を必要としないことにより、証明解釈の整合性を擁護すること。

提案手法

• 完成した証明の全体に依存しない、ブールの標準的証明の概念とその役割を分析する。
• 種の関数にパラメトリック多相性の概念を適用し、このような関数が構成上予言的であることを示す。
• バーザールの定理とその標準的形が、直観的に与えられ、言語的でない構成の証拠であることを検討する。
• 関数的解釈（ブール、マーチン・ローフ）とカット除去に依存する意味論的アプローチ（ダンケット、プリューヴィッツ）を対比する。
• ブールの著作の歴史的・哲学的分析を通じて、直観的関数の本体的基盤を再構築する。
• 直観主義において証明の固定された全体が存在しないことにより、悪質な非予言的性が定義する循環が回避されることを主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 証明解釈における直観的含意の定義は、一般的に言われるように、本当に悪質な非予言的性を有するのか？
• RQ2 ブールが種の関数にパラメトリック多相性を用いることで、含意の予言的性がどのように保証されるのか？
• RQ3 ブールの標準的証明の概念は、証明の全体に依存することなく、どのように証明の全体に依存しないのか？
• RQ4 ブールの関数的解釈における含意は、カット除去に基づく意味論的アプローチとどのように異なるのか？
• RQ5 直観主義的で成長し続ける証明の世界の概念は、整合的な含意の定義と調和させられるか？

主な発見

• ブールの含意の定義は、証明の全体にわたる量化ではなく、種の関数におけるパラメトリック多相性に依拠しているため、悪質な非予言的性を有さない。
• バーザールの定理における証明の標準的形は、関係する対象の内在的構造から導かれるものであり、あらゆる証明形式の把握に基づくものではない。
• 直観主義における証明の概念は固定された全体ではなく、成長し、開放的である。この性質が、非予言的定義が特徴づける循環を防ぐ。
• 関数的解釈（ブール、マーチン・ローフ）は、カット除去に基づく意味論的アプローチよりも、元来の直観的構成プロセスをよりよく捉えている。
• 証明解釈における含意の規定 — 「Aの証明をBの証明に変換する構成」 — は、「構成」をパラメトリック多相性によって定義される関数として理解すれば、整合的である。
• ブールの冪集合公理の拒否と、数学的構造の直観的与えられ方への強調は、含意の予言的読みを支持する。